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Ouvert, Norme et espace de Banach

Posté par
H_aldnoer 27-03-07 à 16:55

Bonjour,

pouvez vous m'aidez pour l'exercice suivant ?

Soit E l'ensemble des fonctions f:[0,1]\to\mathbb{R} lipschitziennes.
1) Montrer que k(f)=sup_{(x,y)\in[0,1]^2}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}<+\infty
2) Montrer que ||f||=||f||_{\infty}+k(f) est une norme sur E
3) Montrer que tout ouvert pour ||.||_{\infty} est un ouvert pour ||.||
4) Montrer que ||.||_{\infty} et ||.|| ne sont pas équivalentes
5) Soit (f_n) de Cauchy dans (E,||.||) :
a/ montrer que (f_n) converge uniformément sur [0,1] vers une fonction continue f
b/ montrer que (k(f_n)) est une suite de Cauchy de nombres réels et en déduire que f\in E
c/ montrer que \lim_{n\to +\infty} k(f_n-f)=0 et conclure
6) (E,||.||_{\infty}) est de Banach ?

pour le 1)
on sait que f est lipschitziennes donc |f(x)-f(y)|\le k|x-y| pour un certain k>0
en particulier, pour tout x et y dans [0,1], \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\le k<+\infty
en passant au sup on a le résultat voulu
pour le 2)
on a ||f||\ge 0 (a cause des valeurs absolues)
on a ||af||=||af||_{\infty}+k(af)=|a|.||f||_{\infty}+sup_{(x,y)\in[0,1]^2}\frac{|a||f(x)-f(y)|}{|x-y|}=|a|.(||f||_{\infty}+sup_{(x,y)\in[0,1]^2}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|})=|a|.||f||
on a ||f||=0 => ||f||_{\infty}=0 et k(f)=0 => f=0 et sup_{(x,y)\in[0,1]^2}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=0 => f=0 et \forall (x,y)\in[0,1]^2\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\le 0 => f=0 et \forall (x,y)\in[0,1]^2 f(x)=f(y) => f=0
on a ||f+g||=||f+g||_{\infty}+k(f+g), ||f+g||_{\infty}\le ||f||_{\infty}+||g||_{\infty} et k(f+g)=sup_{(x,y)\in[0,1]^2}\frac{|(f+g)(x)-(f+g)(y)|}{|x-y|}=sup_{(x,y)\in[0,1]^2}\frac{|f(x)-f(y)+g(x)-g(y)|}{|x-y|} or \frac{|f(x)-f(y)+g(x)-g(y)|}{|x-y|}\le \frac{|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|}{|x-y|}
en passant au sup on a k(f+g)\le k(f)+k(g) d'ou ||f+g||\le ||f||+||g||
pour le 3) je bloque!

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 16:59

montrer que ||f|| est une norme revient à montrer que k(f) est une norme ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:09

Bonjour H_aldnoer

pour la 1 et 2, c'est OK !

Pour la 3), repars de la définition d'un ouvert et remarque que \Large{||.||_{\infty}\leq ||.||}

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:10

non, ça ne revient pas à cela. D'ailleurs, k n'est pas une norme (en effet, k(f)=0 implique seulement que f est constante)

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:14

Soit A un ouvert pour ||.||_{\infty} :
pour tout a\in A, il existe r>0 telle que B(a,r)\subset A

donc si x\in B(a,r) donc ||x-a||_{\infty}\le r alors x\in A ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:20

pourquoi cette dernière phrase ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:24

en fait il faut montrer que :
B_{||.||}(a,r)\subset B_{||.||_{\infty}}(a,r)\subset A

donc on prend x\in B_{||.||}(a,r) : ||x-a||\le r
et on veut x\in B_{||.||_{\infty}}(a,r) c'est à dire ||x-a||_{\infty}\le r
or si ||x-a||_{\infty}\le ||x-a|| c'est gagné!

mais je vois pas comment le démontrer !
||.||_{\infty}=sup_{x\in [0,1]} |f(x)| ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:30

salut tout le monde!!

Kaiser pourquoi cette inégalité entre les normes(moi je l'aurais vu dans l'autre sens)

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:31

ca m'arrange plus dans le sens ou kaiser l'a écrit!
mais je vois pas comment le démontrer !

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:32

la norme infini c'est bien ce que j'ai écrit ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:32

non c'est le bon sens Kaiser! ok ok!

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:33

oui, mais ||.||=||.||oo + k(f) or k(f)>0...donc ||.||>= ||.||oo ?? non?

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:34

lol
oui c'est bon car k(f)>0 !
on passe à la suite !

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:36

pour les mêmes raisons robby :
c'est deux normes ne sont pas équivalentes car il n'existe pas de constante c>0 telle que :
c||.||\le ||.||_{\infty}

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:38

?? pardon j'ai pa suivi la!!

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:39

les normes sont équivalentes :
c>0 et c'>0 constantes telle que c||.||\le ||.||_{\infty}\le c'||.|| non ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:41

oui! ou bien la meme avec ||.|| au milieu...

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:43

oui mais la ça nous arrange pour contredire!
avec ||.||=||.||_{\infty}+k(f) non ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:46

bah va y montre moi pourquoi??
(moi je pensais à faire avec des fonctions et montrer que ça marche pas,mais j'ai pas trouver de fonction comme ça...)

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:49

on a :
c||.||=c||.||_{\infty}+ck(f) avec c>0 !

deja c||.||_{\infty}\ge ||.||_{\infty} et de plus ck(f)>0 c'est impossible que c||.||_{\infty}+ck(f)\le ||.||_{\infty}

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:51

H_aldnoer > je ne vois pas où est la contradiction.

Kaiser

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:51

humm oui! (meme avec c=1/n??)

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:52

en fait, le raisonnement n'est pas vraiment correct (pourquoi c est supérieur à 1 ?)

Kaiser

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:53

Kaiser tu n'aurais une méthode assez globale pour montrer que deux normes sont pas équivalentes...j'ai déja essayé x^n mais sans succés...

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:55

est ce que c'est : c'est superieur à 1 ou c qui est supérieur à 1  ??

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:57

c est supérieur je crois...Kaiser fait rarement des fautes de français!

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:58

c'est au cas par cas.
ici, il faudrait prendre une suite de fonctions qui converge vers 0 pour la, norme infini mais pas pour la deuxième.
Par exemple, que dis-tu de \Large{f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n}} ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 17:59

Citation :
c'est superieur à 1 ou c qui est supérieur à 1 ??


la deuxième !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:01

pour ce fn là : ça converge vers 0 pour la norme infini et vers 1 pour l'autre norme ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:02

oui !

Kaiser

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:02

euhh je vois bien pour la norme infini mais pour k(f)...le sup sur [0,1] de \frac{|\frac{x^n}{n}-\frac{y^n}{n}|}{x-y}??

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:02

mézalor c\le 0 !

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:03

c'est donc 1 ?

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:04

en fait ca se simplifie bcp !
=|\frac{1}{n}||x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1}|

le sup est atteint en la valeur x=y=1 soit |\frac{1}{n}||n|=1 il me semble !

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:04

bah ça reviendrait à trouver c tel que 1<=0 ... donc oué c<=0 ... ce qui n'est pas possible sauf erreur!

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:05

et sans cette idée magique, on fait comment ??

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:06

(H_aldnoer...si x=y ça fait 0 en bas sauf erreur de lecture ce qui est possible!)

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:07

\Large{\Large{\frac{1}{n}\frac{|x^{n}-y^{n}|}{|x-y|}\leq 1} grâce à l'inégalité des accroissements finis.

avec y=1, et lorsque x tend vers 1, cette quantité tend vers 1. donc le sup est exactement égal à 1.
En fait, pour tout n, on a \Large{k(f_{n})=1}.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:08

bein en fait pour f_n on trouve ce que j'ai mis dans mon poste de 18:04 et, sauf erreur, c'est bien défini pour x=y=1 non ?

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:10

c'est pas juste ce que j'ai mis kaiser plus haut ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:10

Merci Kaiser,heuresement tu éclaircis tout ça!!

la suite Kaiser c'est comme d'habitude j'ai envie de dire...fn de Cauchy,on écrit la norme...fn(x) de Cauchy dans R...R complet...??

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:11

va bien falloir que je retienne c'ette inégalité car on s'en sert très souvent j'ai remarqué ...

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:12

(H> on a y=1 et x tend vers 1...)

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:14

H_aldnoer > si c'est correct mais l'expression initiale n'est a priori pas défini pour x=y. Ici, on contourne ce problème en disant que l'on fait tend x et y vers 1.

Kaiser

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:20

Voila!!

pour la suite,le k(f) me pose probleme,il me gene!!

comment écrit-on k(fn) ou fn de Cauchy:

sup_{(x,y) \in [0,1]} |\frac{f_p(x)-f_q(y)}{x-y}-\frac{f_p(x)-f_q(y)}{x-y}|??

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:21

j'ai rein dit!! j'ai écrit une énormité!!

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:21

Pour le 5), a/
Comme (f_n) de Cauchy, pour tout e>0; à partir d'un certain rang N on a :
||f_n-f_m||\le e.
mais :
||f_n-f_m||_{\infty}\le ||f_n-f_m|| donc ||f_n-f_m||_{\infty}\le e d'ou sup_{x\in [0,1]} |f_n(x)-f_m(x)|\le e donc \forall x\in [0,1], |f_n(x)-f_m(x)|\le e donc (f_n(x)) est de Cauchy
Mais \mathbb{R} est complet donc f_n converge vers f continue ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:22

pourquoi veux-tu montrer qu'elle de Cauchy ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:23

robby > oublie ce que j'ai dit (j'étais encore sur les premières questions)

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 18:24

H_aldnoer > tu peux directement utiliser que l'ensemble des fonctions continues continues muni de la norme infinie est complet.

Kaiser

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