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Niveau Maths sup
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Partie dense

Posté par
Ramanujan 13-08-19 à 12:36

Bonjour,

Je bloque sur l'exercice suivant. Dans mon livre, la correction prend 2 lignes mais je ne comprends rien. Il n'y aucune explication entre les étapes.

Soit A= \left\{x \in [0,1] \ | \  \exists k \in [|0,2^n|] \  x=\dfrac{k}{2^n}\right\}

Montrer que A est dense dans [0,1].

Je ne comprends pas l'ensemble A, l'énoncé ne définissant pas n... Que veut dire l'intervalle [|0,2^n|] lorsque n est quelconque ?

J'ai pris 2 éléments x,y \in [0,1] tels que x<y. Je dois trouver un élément de A compris entre x et y.
Mais je n'y arrive pas.

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 12:46

Déjà c'est faux en l'état il faut que n décrive N.
Pour x de [0,1] donné
Soit e>0, on veut montrer qu'il existe a dans A tel que |x-a|<e
1) montrer qu'il existe N tel que 1/2^N < e

2) considere les intervalles de la forme k/2^N , k/2^(N+1) montre qu'il existe k tel que x est compris dans lun de ces intervalles et conclure


+ go dessin

Posté par
malou Webmasterre : Partie dense 13-08-19 à 12:57

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 13:00

@Lionel

Il faut que n décrive N ? Je n'ai pas compris. Pourquoi c'est faux ?

Posté par
alb12re : Partie dense 13-08-19 à 13:06

salut,
si tout le temps que tu passes à taper des messages etait utilise à la reflexion,
tu aurais deja traite la moitie de "Mon Livre".
Quel gachis !

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 13:11

alb12 @ 13-08-2019 à 13:06

salut,
si tout le temps que tu passes à taper des messages etait utilise à la reflexion,
tu aurais deja traite la moitie de "Mon Livre".
Quel gachis !


Je ne comprends pas cet exercice, il y a un n sorti de nulle part on sait même pas qui c'est

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 13:16

n prend TOUTES les valeurs de N

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 13:21

Mais alors c'est quoi l'intérêt du [|0,2^n|] ? On a [|0,2^n|]= ?

Si n=1, on a A=\{0,\dfrac{1}{2},1 \} et entre 0 et 1/4 il n'y a aucun élément de A.

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 13:23

L'ensemble à considérer est

A= \left\{x \in [0,1] \ | \  \exists k \in \N \  x=\dfrac{k}{2^n}\right\} ?

Posté par
Jezebethre : Partie dense 13-08-19 à 13:25

Bonjour

Certainement :

A=\left\{x \in [0,1] \mid \exists n \in \mathbb{N},\: \exists k \in \left\{0,...,2^n \right\}:\: x=\frac{k}{2^n} \right\}.

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 13:28

Jezebeth @ 13-08-2019 à 13:25

Bonjour

Certainement :

A=\left\{x \in [0,1] \mid \exists n \in \mathbb{N},\: \exists k \in \left\{0,...,2^n \right\}:\: x=\frac{k}{2^n} \right\}.


Merci, je vais essayer de raisonner avec cet ensemble. Sûrement  une coquille dans mon livre.

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 13:28

Soit A= \{x \in [0,1] \ | \  \exists n \in N, k \in [|0,2^n|] \  x=\dfrac{k}{2^n}\}

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 13:58

lionel52 @ 13-08-2019 à 12:46

Déjà c'est faux en l'état il faut que n décrive N.
Pour x de [0,1] donné
Soit e>0, on veut montrer qu'il existe a dans A tel que |x-a|<e
1) montrer qu'il existe N tel que 1/2^N < e

2) considere les intervalles de la forme k/2^N , k/2^(N+1) montre qu'il existe k tel que x est compris dans lun de ces intervalles et conclure


+ go dessin


Vos indications ne me parlent pas du tout, je ne vois pas quel dessin faire.

Mais mon idée est de partir de :

Soit x,y \in [0,1] tel que x<y. Il faut montrer qu'il existe un entier n \in \N et un k \in [|0,2^n|] tel que :

x \leq \dfrac{k}{2^n} \leq y

On peut considérer : k_0 = \max \{k \in \N | \dfrac{k}{2^n} \leq x \}

Il faut montrer l'existence du maximum : l'ensemble \{k \in \N | \dfrac{k}{2^n} \leq x \} est une partie de \N non vide, elle contient 0. Elle est majorée par 2^n x elle admet donc un plus grand élément.

Ainsi k_0+1 n'appartient pas à  \{k \in \N | \dfrac{k}{2^n} \leq x \}  on en déduit que :

x \leq \dfrac{k_0+1}{2^n}

Et là je bloque pour déterminer l'inégalité avec le y

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 14:08

Ton idée n'aboutira pas. Pour n donné (par exemple n = 2), place les k/2^n sur [0,1] avec un \huge DESSIN


Ca veut dire quoi A dense dans [0,1] ensuite? Ca veut surtout dire que si tu prends n'importe quel x dans [0,1] il existe a dans A qui soit aussi proche de x que l'on veut.

Posté par
luzakre : Partie dense 13-08-19 à 14:08

Faire un dessin en plaçant x,y montre qu'on a intérêt à choisir n assez grand, par exemple 2^n>y-x.

Quand je pense que récemment, avec l'aide de carpediem tu as fait un exercice avec les parties entières de 10^nx...
Sans compter ton problème sur les ensembles de Farey où tu devais utiliser la base 2.
Et celui où les nombres dyadiques faisaient un ensemble dense !

Un devoir de plilo consistait à commenter : "la mémoire c'est la faculté d'oublier". Tu dois donc avoir beaucoup de mémoire.

Posté par
Kernelpanicre : Partie dense 13-08-19 à 14:17

Bonjour,

si on prend a,b dans [0,1] avec a < b, on peut poser c = b - a.
Comme 0 <= a < b <= 1,  b - a > 0 et on suite que \dfrac{1}{2^n} \to 0^+ ~ (n \to \infty^+), donc il existe un n entier vérifiant \dfrac{1}{2^n} < c. Tu fixes ce n et après tu joues avec les entiers compris entre 0 et 2^n pour trouver des inégalités exploitables.

Posté par
Kernelpanicre : Partie dense 13-08-19 à 14:18

Je n'avais pas vu la réponse de luzak, au temps pour moi.

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 14:45

J'ai fait les dessins, je ne vois pas ce que ça m'apporte. Cela ne m'apporte absolument rien. Je n'ai pas compris pourquoi vous parlez de dessin.

Lionel placer les k mais pour quel x ? Y a tout qui varie k,n,x je ne vois pas comment faire un dessin avec toutes les variables qui changent.

Luzak c'est quoi le rapport avec les parties entières et la base 2 J'ai fait le dessin en plaçant x et y. Et c'est tout je ne vois pas quoi placer d'autre.

J'y arrive mieux sans dessin juste avec des calculs.  On a montré qu'il existe un entier k_0 tel que : x \leq \dfrac{k_0+1}{2^n}

Ensuite, on veut avoir \dfrac{k_0+1}{2^n} \leq y \Leftrightarrow \dfrac{k_0}{2^n}+\dfrac{1}{2^n} \leq y

Comme \dfrac{k_0}{2^n} \leq x, on voit qu'il faut prendre \dfrac{1}{2^n} \leq y-x
D'après un corollaire de la propriété d'Archimède, il existe un entier n_0 tel que 2^{n_0} \leq \dfrac{1}{y-x} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2^{n_0}} \leq y-x

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 15:21

J'aimerais bien comprendre comment graphiquement on trouve la condition :

\dfrac{1}{2^{n_0}} \leq y-x

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 15:30

Non mais parce qu'un dessin te permettrait de comprendre l'ensemble et comment ça marche... toi tu fais les calculs au hasard sans savoir ce qu'il y a derrière, je comprends pas comment tu peux avancer comme ça.

Tu prends n = 1. Tu places 0, 1/2, 1 avec un stylo bleu
Tu prends n = 2. Tu places 0, 1/4, 1/2, 1 avec un stylo rouge
...

Tu places x au pif dans [0,1] ensuite

Posté par
lafol Moderateurre : Partie dense 13-08-19 à 15:47

Juste par curiosité on peut exceptionnellement avoir une photo de cet énoncé ?

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 15:50

Et oublie Archimède à ce stade. C'est une propriété essentielle, au début quand tu définis les premières propriétés de R. Mais maintenant que tu parles de limite de suite, de densité, hors de question de parler d'archimède. S'il existe n tel que 1/2^n \leq y-x si x < y, c'est parce que la suite (1/2^n) converge vers 0.

Posté par
luzakre : Partie dense 13-08-19 à 15:57

Citation :
J'ai fait les dessins, je ne vois pas ce que ça m'apporte. Cela ne m'apporte absolument rien. Je n'ai pas compris pourquoi vous parlez de dessin.

Tu n'as jamais marché sur un dallage ? Si tu fais des pas trop grands tu n'es pas sûr de placer tes pieds sur toutes les dalles !

Et as-tu eu la curiosité de revoir les exos ou problèmes que tu as faits ici-même ? Partie entière de 10^nx (il suffit de remplacer 10 par 2 et tu as toute la solution ? Nombres dyadiques ?

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 17:06

lafol @ 13-08-2019 à 15:47

Juste par curiosité on peut exceptionnellement avoir une photo de cet énoncé ?


J'ai recopié l'énoncé exact.

Posté par
lafol Moderateurre : Partie dense 13-08-19 à 17:08

Rien de plus simple pour nous en convaincre que d'envoyer cette photo

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 17:10

@Luazak

E(2^n x) \leq 2^n x < E(2^n x)+1

C'est quoi le rapport avec cette exercice ?

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 17:11

lionel52 @ 13-08-2019 à 15:50

Et oublie Archimède à ce stade. C'est une propriété essentielle, au début quand tu définis les premières propriétés de R. Mais maintenant que tu parles de limite de suite, de densité, hors de question de parler d'archimède. S'il existe n tel que 1/2^n \leq y-x si x < y, c'est parce que la suite (1/2^n) converge vers 0.


Ok je prends note.

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 17:24

lafol @ 13-08-2019 à 17:08

Rien de plus simple pour nous en convaincre que d'envoyer cette photo


Partie dense

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 17:27

Ouaip ils ont oublié "pour tout n dans  N"

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 17:30

Voici le graphique Lionel et ensuite ?

Partie dense

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 17:39

c'est plus explicite si tu ne simplifies pas les fractions mais pas grave. Tu remarques que pour n donné les intervalles entre 2 nombres sont de plus en plus petits et que [0,1] est recouvert par ces intervalles.  D'où l'histoire de "dalles" si tu marches avec des pas de plus en plus petits, tu auras de plus en plus de chances de tomber sur la merde en plein milieu de la rue

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 17:49

Oui je comprends mais du coup théoriquement c'est quoi la méthode à utiliser ici ?

Ma définition de partie dense c'est :
1/ Entre 2 éléments de [0,1] on peut toujours trouver un élément de À.
2/ Pour tout élément x de [0,1] pour tout e strictement positif on peut trouver un élément de À dans] x-e, x+e[
3/ Pour tout dans [0,1] on peut trouver une suite d'éléments de À qui converge vers x.

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 17:50

Bah au vu de ce que j'ai dit c'est la définition n°2.

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 18:10

D'après le dessin il faut prendre n suffisamment grand si on veut vérifier la propriété :

\forall \varepsilon >0 \ \forall x \in [0,1]  \ \exists a \in A \ a \in ]x- \varepsilon , x+\varepsilon[ .

Un élément de A s'écrit : a=\dfrac{k}{2^n} avec n \in \N et k \in [|0,2^n|]

Soit \varepsilon>0. On veut : x- \varepsilon \leq \dfrac{k}{2^n} \leq x+ \varepsilon

Mais après je ne vois pas trop...

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 18:13

Laisse tomber cette approche. Ok tu as déterminé un n assez grand super. Maintenant la réunion des intervalles de la forme [k/2^n, (k+1)/2^n] c'est ....

Donc ça assure l'existence d'un intervalle [k0/2^n, (k0+1)/2^n]  tel que ...

Pour ce même intervalle on a ...

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 18:24

Je dois déterminer :

\bigcup_{k \in [|0,2^n|]} [\dfrac{k}{2^n}, \dfrac{k+1}{2^n}]=[0,1+\dfrac{1}{2^n}] ?

Si c'est juste j'essaierai de le démontrer.

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 18:28

Sans le dernier point...

Donc [0,1]..
Et pas besoin de le montrer ca alourdit la preuve et c'est évident...

Posté par
luzakre : Partie dense 13-08-19 à 18:49

Citation :

E(2^n x) \leq 2^n x < E(2^n x)+1
C'est quoi le rapport avec cette exercice ?

Tout simplement qu'en notant k=1+E(2^nx) il vient x<\dfrac{k}{2^n}\leq x+\dfrac1{2^n}<y si tu as choisi un n convenable.

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 18:52

Du coup :

\bigcup_{k \in [|0,2^n-1|]} [\dfrac{k}{2^n}, \dfrac{k+1}{2^n}]=[0,1]

Soit x \in |0,1]. Il existe alors un k_0 \in [|0,2^n-1|] tel que x \in  [\dfrac{k_0}{2^n}, \dfrac{k_0+1}{2^n}]

Or pour  ce k_0 \in [|0,2^n-1|] , on a \dfrac{k_0}{2^n} \in A et \dfrac{k_0+1}{2^n}] \in A.

Entre chaque élément de [0,1], il existe 2 éléments de A.

Mais la densité c'est pas l'inverse : entre 2 éléments de [[0,1] il faut trouver un élément de A ?

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 18:53

Utilise la définition 2 jtai dit....

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 19:09

luzak @ 13-08-2019 à 18:49

Citation :

E(2^n x) \leq 2^n x < E(2^n x)+1
C'est quoi le rapport avec cette exercice ?

Tout simplement qu'en notant k=1+E(2^nx) il vient x<\dfrac{k}{2^n}\leq x+\dfrac1{2^n}<y si tu as choisi un n convenable.


Encore faudrait-il montrer que 1+E(2^nx) \in [|0,2^n|]. Je trouve seulement que 0 \leq 2^n x < 1+E(2^nx) < 2^n x+1 \leq 2^n +1 ce qui est insuffisant.

Puis trouver unn qui vérifie x<\dfrac{k}{2^n}} me semble mission impossible.

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 20:04

lionel52 @ 13-08-2019 à 18:53

Utilise la définition 2 jtai dit....


Je ne vois pas, on est pas partie de "Soit \varepsilon >0" je ne comprends pas le rapport avec la définition 2.

Posté par
lionel52re : Partie dense 13-08-19 à 20:08

En vrai j'abandonne pour ce topic, à un moment faut lâcher prise
Je t'explique tout, je t'indique tout t'arrives à RIEN je sais plus quoi faire perso

Posté par
verdurinre : Partie dense 13-08-19 à 20:12

Citation :
Faut-il pleurer, faut-il en rire ?
[ . . . ]
Je n'ai pas le cœur à le dire

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 20:24

lionel52 @ 13-08-2019 à 20:08

En vrai j'abandonne pour ce topic, à un moment faut lâcher prise
Je t'explique tout, je t'indique tout t'arrives à RIEN je sais plus quoi faire perso


Cet exercice m'est très obscure, je ne comprends pas où vous voulez m'emmener. Les indications se succèdent mais je ne vois toujours pas à quelle conclusion je dois aboutir.  

La seule solution que j'ai comprise c'est celle de mon livre avec le k_0 = \max.

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 21:06

J'ai envie d'abandonner les maths des jours comme ça, je comprends rien à cet exercice, je comprends rien à la démonstration du cours. Les maths c'est pas pour moi

Posté par
mousse42re : Partie dense 13-08-19 à 21:28

Salut,

Si on a x<y

On considère \varepsilon  tel que 0<\varepsilon<|y-x|=y-x

Il existe un k\in \N tel que k\varepsilon\ge x
On considère le plus petit élément que l'on nomme k_0

On a donc (k_0-1)\varepsilon<x\le k_0\varepsilon<x+\varepsilon<x+|y-x|=y

avec  \varepsilon=\dfrac{1}{2^n}

Posté par
mousse42re : Partie dense 13-08-19 à 21:45

Je reprends une explication que t'a déjà été donnée (on ne peut pas faire mieux)

Si tu marches sur une ligne droite et en face de toi : deux points, le point x et plus loin le point y, je note \Delta la distance entre x et y. Si tu fais des enjambés d'une longueur supérieure à  \Delta , il n'est pas certain que ton pied tombe entre x et y. Mais si tu fais des enjambés inférieures à  \Delta , alors tu seras sûr d'avoir à un moment un pied entre x et y.

Une fois compris cela, le reste vient tout seul

Posté par
Ramanujanre : Partie dense 13-08-19 à 21:52

Merci Mousse j'ai compris votre démonstration mais toujours pas d'où vient l'idée de départ.

Pourquoi vous prenez |y-x| > \dfrac{1}{2^n}

Pourquoi vous prenez la distance entre y et x plus grande que \dfrac{1}{2^n} ?
Quel est le rapport entre \dfrac{1}{2^n} et l'ensemble A ?

Posté par
mousse42re : Partie dense 13-08-19 à 21:55

Alors reprenons : que cherche t-on à démontrer?

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