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Partie ouverte

Posté par
termina123 04-10-21 à 20:17

Bonsoir
Soit E=C^0([0,1],\mathbb{R}) muni de la norme infinie l'ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R et X=\{f\in E,\; f>0\}. Montrons que X est une partie ouverte de E :

Comme f est continue sur [0,1], il existe x_0 dans [0,1] tel que pour tout x\in [0,1], f(x)>f(x_0)
Soit r>0 et g\in B(f,r), g(x)=f(x)+(g(x)-f(x))>f(x_0)+(g(x)-f(x))
Et à partir de la je vois pas comment traduire  \sup_{x\in[0,1]}|g(x)-f(x)|<r pour choisir un r

Posté par
termina123re : Partie ouverte 04-10-21 à 20:19

Les > sont plutot des \geq dans le deuxieme paragraphe sauf pour la boule ouverte

Posté par
jsvdbre : Partie ouverte 04-10-21 à 20:21

Bonjour termina123.

Prends r = f(x_0)/2.
Que vérifient les fonction dans B(f,r) ?

Posté par
termina123re : Partie ouverte 04-10-21 à 21:00

Soit g\in B(f,r), ||g-f||_{\infty}=||f-g||_{\infty}<r
Dou \forall x \in [0,1],\; f(x)-g(x)\leq|f(x)-g(x)|\leq||f-g||_{\infty}<r
\Rightarrow \forall x \in [0,1],g(x)-f(x)>-r

Je reprends ce que j'avais écrit :
\forall x\in [0,1],g(x)=f(x)+(g(x)-f(x))\geq f(x_0)+(g(x)-f(x))>f(x_0)-r
En prenant r=f(x_0)/2>0, on a g>0 d'ou \forall f \in X, \exists r>0,\; B(f,r) \subset X

Posté par
Ulmierere : Partie ouverte 05-10-21 à 11:37

Je trouve ta dernière phrase un peu maladroite

Ici la norme t'es donnée et tu as un espace métrique donc tu pouvais aussi tout simplement montrer que le complémentaire est fermé.

Tu prends une suite de fonctions f_n \in E négatives et qui convergent uniformément vers une fonction f. La convergence uniforme assure la continuité de f. Un passage à la limite dans une inégalité large assure quant à lui que f\leqslant 0


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