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Partie relativement compacte (2)
Bonjour,
On note muni de la norme infinie.
Soit une suite de fonction de E telle qu'il existe K positif vérifiant :
Pour x appartenant à [0,1], on pose :
1°) Montrer que est relativement compacte dans E.
Je vais utiliser le théorème d'Ascoli pour montrer ça.
Je vais déjà montrer que F est une partie équicontinue de E.
Soit dans F.
on considère (et y >x). On a
.
D'où ( d'après Cauchy-Schwarz ) c'est à dire
d'où :
donc on a l'uniforme équicontinuité.
Jusque là c'est bon ou pas ?
Salut Cauchy,
Merci !
Pour appliquer Ascoli maintenant, il me reste à montrer que est relativement compact.
Si j'ai bien compris, il suffit que je montre que cet ensemble est borné.
Seulement, j'ai jamais compris ce qu'il fallait que je montre exactement ?
que ?
merci, j'avais pas saisi la nuance 
Ensuite, on me demande si admet une sous-suite convergente dans E, je dirais oui car c'est une caractérisation d'un ensemble relativement compact ?
(fn) est une suite de l'adhérence de E,donc admet une sous-suite (f(n_k)) qui converge vers f dans E barre.
Désolé pour le temps de réponse,je tapais un document en même temps
pourquoi de F alors ? 
On sait que F est relativement compact, donc que est compact. Mais pourquoi les fn seraient dans
?
ok.
Mais on aurait pu simplement le dire car on sait que une partie F de E est relativement compacte ssi toute suite d'élements de F admet une sous suite convergente dans E ?
en fait tu le redémontres ici ( le sens => tout du moins )
oui effectivement
C'est sympa l'analyse fonctionnelle finalement, très proche de la topologie tout ça, moins qui en avait horreur y'a de celà 2 mois
Allez bonne journée, je vais me sauver au taf moi 
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