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Partie relativement compacte (2)

Posté par
Rouliane
25-05-07 à 13:45

Bonjour,

On note E=C([0,1],\mathbb{R}) muni de la norme infinie.

Soit (g_n)_n une suite de fonction de E telle qu'il existe K positif vérifiant :

3$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \forall n \in \mathbb{N},\; \int_0^1 g_n^2(t)dt \le K

Pour x appartenant à [0,1], on pose : 3$ f_n(x)=\int_0^x g_n(t)dt

1°) Montrer que 3$ F=\{f_n \; | \;n \in \mathbb{N} \} est relativement compacte dans E.

Je vais utiliser le théorème d'Ascoli pour montrer ça.
Je vais déjà montrer que F est une partie équicontinue de E.
Soit f_n dans F.
on considère |y-x| \le \alpha (et y >x). On a 3$ f_n(y)-f_n(x)=\int_x^y g_n(t)dt.

D'où 3$ f_n(y)-f_n(x)\le \sqrt{\int_x^y 1^2dt}\sqrt{\int_x^y g_n(t)^2 dt} ( d'après Cauchy-Schwarz ) c'est à dire 3$ |f_n(y)-f_n(x)|\le \sqrt{K}\sqrt{y-x} d'où : 3$ |f_n(y)-f_n(x)|\le \sqrt{K}\sqrt{\alpha}

donc on a l'uniforme équicontinuité.

Jusque là c'est bon ou pas ?

Posté par
Cauchy
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 13:53

Salut,

oui t'es sur la bonne voie

Posté par
Rouliane
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 13:56

Salut Cauchy,

Merci !

Pour appliquer Ascoli maintenant, il me reste à montrer que \{f_n(x) \} est relativement compact.
Si j'ai bien compris, il suffit que je montre que cet ensemble est borné.

Seulement, j'ai jamais compris ce qu'il fallait que je montre exactement ?

que |f_n(x)| \le M ?

Posté par
Cauchy
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:04

Oui  il faut que tu montres ca mais pour tout x,la borne doit être valable pour tout n(uniforme).

Posté par
Rouliane
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:07

Mais on a toujours |f_n(x)| \le ||f_n||_{\infty} non ?

donc y'a presque rien à faire

Posté par
Cauchy
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:14

Indépendamment de n sinon il y a rien à faire.

Posté par
Rouliane
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:19

Ok.

Donc 4$ |f_n(x)|=|\int_0^x g_n(t)dt| \le \sqrt{x}\sqrt{\int_0^x g_n^2(t)dt}\le \sqrt{K}

C'est ça ?

Posté par
Cauchy
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:24

Oui ca marche car K convient pour tous les n.

Posté par
Rouliane
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:25

merci, j'avais pas saisi la nuance

Ensuite, on me demande si (f_n) admet une sous-suite convergente dans E, je dirais oui car c'est une caractérisation d'un ensemble relativement compact ?

Posté par
Cauchy
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:49

(fn) est une suite de l'adhérence de E,donc admet une sous-suite (f(n_k)) qui converge vers f dans E barre.

Désolé pour le temps de réponse,je tapais un document en même temps

Posté par
Rouliane
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:51

pas de problème pour le temps de réponse

Pourquoi fn est une suite de l'adhérence de E ?

Posté par
Cauchy
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:53

De F je voulais dire

Posté par
Rouliane
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:55

pourquoi de F alors ?

On sait que F est relativement compact, donc que \bar{F} est compact. Mais pourquoi les fn seraient dans \bar{F} ?

Posté par
Cauchy
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 14:59

Bien les fn sont par définition dans F.

Posté par
Rouliane
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 15:00

ah ben oui
On utilise seulement que F inclus dans \bar{F} ?

merci.

Posté par
Cauchy
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 15:03

Oui

Posté par
Rouliane
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 15:05

ok.

Mais on aurait pu simplement le dire car on sait que une partie F de E est relativement compacte ssi toute suite d'élements de F admet une sous suite convergente dans E ?

en fait tu le redémontres ici ( le sens => tout du moins )

Posté par
Cauchy
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 15:10

Bien ca coûte rien,j'avais pas ce truc en tête,il n'y a rien à dire presque

Posté par
Rouliane
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 15:11

oui effectivement

C'est sympa l'analyse fonctionnelle finalement, très proche de la topologie tout ça, moins qui en avait horreur y'a de celà 2 mois

Allez bonne journée, je vais me sauver au taf moi

Posté par
Cauchy
re : Partie relativement compacte (2) 25-05-07 à 15:15

Oui c'est sympa,bon taf alors à la prochaine



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