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Partitions d'une grille carrée (6x6) en 4 parties isométriques.

Posté par
Depasse 06-02-12 à 00:35

Bonjour, à l'occasion d'un jeu je me suis demandé combien il y avait de partitions d'une grille de 6x6 en 4 parties isométriques de 9 cases. Je crois que c'est 4**9; puis de partitions de ce type telles que les 4 parties soient "fortement connexes" (i.e connexes, deux cases étant décrétées voisines lorsqu'elles partagent un côté); je pense que c'est 51; puis de telles partitions "faiblement connexes" (i.e connexes, deux cases étant décrétées voisines lorsqu'elles partagent un sommet(au moins)); et là je sèche. J'en appelle donc à vos neurones si par hasard ce type de question ne vous semblait pas sans aucun intérêt!Merci. Paul

Posté par re : Partitions d'une grille carrée (6x6) en 4 parties isométriq 07-02-12 à 12:05

Bonjour

Déjà pour le choix libre, je ne suis pas d'accord. Il y a $C_{36}^9$ manières de choisir une partie, puis $C_{27}^9$ pour une seconde, puis $C_{18}^9$ pour la troisième, les 9 restantes formant la dernière partie! Donc

$C_{36}^9\times C_{27}^9\times C_{18}^9$

manières!

Je ne promets pas de chercher pour les autres cas...

Posté par re : Partitions d'une grille carrée (6x6) en 4 parties isométriq 07-02-12 à 20:03

Bonsoir,
je crois que Camélia n'a pas vu que les parties doivent-être isométriques.
Sinon je ne vois pas comment tu arrives à $4^9$ snans contraintes de connexité.
Je crois que tu devrais déplacer ton message dans le forum détente, où il risque de rencontrer un public plus intérressé.
Sinon je viens de passer une heures de contrôle à chercher les partitions fortement connexes je ne suis pas arrivé à 51, mais j'ai sans doute raté des cas.

Posté par re : Partitions d'une grille carrée (6x6) en 4 parties isométriq 08-02-12 à 14:09

Salut Verdurin

En effet... je n'ai rien compris! mais je ne vois pas du tout d'où sort le $4^9$

Posté par re : Partitions d'une grille carrée (6x6) en 4 parties isométriq 09-02-12 à 21:40

je crois que les partitions comptés sont celles qui sont invariantes par une rotation de 90°.
$Partitions d\'une grille carrée (6x6) en 4 parties isométriq$
Pour les partitions fortement connexes je pense que Depasse compte les deux premières images comme différentes et ne considère pas la troisième.
Dans ce cas on a bien 51 partitions distinctes.

Le 4⁹ me semble du à un oubli :
si on compte les partitions sans contrainte il y en a 4⁸ invariantes par des rotations de 90° du carré.

Soit A, B, C et D les quatre parties. Si on veut qu'elles soient images d'une d'entre elles par des rotations du carré il suffit d'associer chaque cases d'un quart du carré de départ (un quart étant un carré 3x3 limité par les axes de symétries du carré de base) une des partitions, puis d'utiliser une permutation circulaire du genre (ABCD) pour les autres carrés.
Ce qui fait 4⁹ possibilités.
Mais si, ce qui est cohérent avec le résultat 51 pour les partitions fortement connexes, on considère que les partitions déduites par une rotation de 90° sont identiques, il faut diviser par 4 le résultat.

Si Depasse repasse par ici, je serais heureux d'avoir une réponse. Et des précisions sur la question de départ.