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Pentagone régulier

Posté par
Ramanujan 30-03-19 à 18:55

Bonsoir,

On pose w=\exp(\dfrac{2i \pi}{5})

On pose \alpha = w + w^4 et \beta = w^2 + w^3

1/ Prouver que \alpha + \beta = - 1 et que \alpha \beta = -1
Réussi.

2/ Justifier que \alpha et \beta sont solutions de l'équation X^2 + X -1 =0
Réussi.

3/ Exprimer \alpha en fonction de \cos(\dfrac{2 \pi}{5})
Je bloque.

4/ En déduire la valeur de exacte de \cos(\dfrac{2 \pi}{5})

Posté par
Poncarguesre : Pentagone régulier 30-03-19 à 18:58

Que vaut le conugué de w?

Posté par
Ramanujanre : Pentagone régulier 30-03-19 à 19:43

\bar{w} = \exp(-\dfrac{2i \pi}{5})

Posté par
Ramanujanre : Pentagone régulier 30-03-19 à 19:51

\bar{w} = \exp(-\dfrac{2i \pi}{5}) =\exp(-\dfrac{2i \pi}{5}) \exp(2 i \pi ) = \exp(\dfrac{8i \pi}{5}) = w^4

Donc \alpha = w + \bar{w} = 2 Re (w) = 2 \cos (\dfrac{2 \pi}{5})

Posté par
Ramanujanre : Pentagone régulier 30-03-19 à 19:58

Pour la question 4, j'ai calculé les racines de E je trouve :

X_1 = \dfrac{ -1 + \sqrt{5}}{2} et X_2 = \dfrac{ -1 - \sqrt{5}}{2}

Mais je vois pas comment finir je sais pas si \alpha correspond à X_1 ou X_2

Posté par
verdurinre : Pentagone régulier 30-03-19 à 20:17

Bonsoir,
tu peux regarder le signe de la partie réelle de .

Posté par
Ramanujanre : Pentagone régulier 30-03-19 à 20:41

Merci Verdurin

Comme \dfrac{2 \pi}{5} \in [0,\dfrac{\pi}{2}]

\cos(\dfrac{2 \pi}{5}) \geq 0

Donc : ^alpha = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}

Enfin : \cos(\dfrac{2 \pi}{5}) =  \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{4}

Posté par
verdurinre : Pentagone régulier 30-03-19 à 21:30

Tu as oublié de dire que \cos\frac{8\pi}5\ge0

C'est clairement évident car \cos\frac{8\pi}5=\cos\frac{2\pi}5 mais il faut le dire.

Posté par
Ramanujanre : Pentagone régulier 31-03-19 à 17:58

Merci Verdurin vous avez raison. Je mets la suite :

Tracer le cercle de centre O et de rayon 1 puis les points \Omega d'affixe -\dfrac{1}{2} et B d'affixe i

Calculer la valeur exacte de B\Omega? En déduire la construction du point M de l'axe des abscisses d'abscisse \alpha .

Je trouve B \Omega = \dfrac{\sqrt{5}}{2}

Mais je ne vois comment construire le point M d'abcisse \alpha

Posté par
Ramanujanre : Pentagone régulier 31-03-19 à 18:03

verdurin @ 30-03-2019 à 21:30

Tu as oublié de dire que \cos\frac{8\pi}5\ge0

C'est clairement évident car \cos\frac{8\pi}5=\cos\frac{2\pi}5 mais il faut le dire.


J'ai pas compris pourquoi il faut vérifier pour \cos\frac{8\pi}5

Car : \alpha = 2 \cos\frac{2\pi}5

Pour avoir \alpha \geq 0 il suffit de vérifier que \cos\frac{2\pi}5 \geq 0 non ?

Posté par
Ramanujanre : Pentagone régulier 31-03-19 à 19:47

En fait j'ai réussi à construire le point M d'abscisse \alpha  c'est facile car :

\alpha = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}

Posté par
verdurinre : Pentagone régulier 31-03-19 à 21:56

Citation :
Car : \alpha = 2 \cos\frac{2\pi}5

Pour avoir \alpha \geq 0 il suffit de vérifier que \cos\frac{2\pi}5 \geq 0 non ?

Oui bien sur, j'ai mal lu.


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