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Petit exercice de Topologie(1)
Bonjour,
je refais quelques exercice en topologie, sur la compacité.
Voila un petit problème :
Soit un espace métrique.
Montrer que si et
sont deux compacts de
,
est aussi un compact de
.
Soit une suite de points convergent vers
. Montrer que
est compact.
J'utilise Bolzano-Weierstrass ?
est compact si toute suite à valeurs dans
admet une valeur d'adhérence dans
.
Soit une suite de
. Alors soit
, soit
. Dans chaque cas,
et
étant compact,
admet une valeur d'adhérence dans
.
Dans la deuxième partit, il suffit de montrer que et
sont compact. Pour
ok car si on prend une suite
de cet ensemble, elle admet
comme valeur d'adhérence encore dans l'ensemble. Pour le
, je vois pas trop.
Bonjour,
ce n'est pas parce que x_n est dans AUB que x_n est dans A ou que x_n est dans B.
Dans ta deuxième démonstration, B n'est clairement pas compact, c'est trivial puisque (x_n) ne comporte pas de sous suite convergente (sauf si x=x_n pour un certain n).
Utilise la définition de la compacité avec les sous recouvrement par des ouverts (Heine-Borel), c'est immédiat dans les deux cas.
Si (C_i) est un recouvrement de AUB par des ouverts, alors c'est un recouvrement de A par des ouverts, c'est également un recouvrement de B par des ouverts...
Pour la deuxième question, recouvre ton ensemble par des ouverts et utilise la définition de la convergence d'une suite.
Le théorème que j'ai :
est compact ssi de tout recouvrement de
par des ouverts de
on peut extraire un recouvrement fini.
Soit un recouvrement de
.
Donc .
Après je vois pas... je maîtrise pas trop les recouvrements
Je t'ai expliqué le problème en allant plus loin que ça, alors essaie quand même d'aller au moins là où je t'ai amené 
Si est un recouvrement de
c'est aussi un recouvrement de
car :
c'est si évident que ça ?
ça me parait bizzare!
Mais il faut prendre des recouvrements par des ouverts de non ?
Donc on prend des ouverts de
, soit
qui implique que
et
Mais est compact, donc il existe
fini tels que
. De même pour
:
.
Donc on a trouvé un recouvrement fini pour avec
?
c'est si évident que ça
Oui c'est même trivial.
Le reste est correct, mais je ne sais pas pourquoi tu as changé les notations en cours de route.
J'ai changé les notations pour recouvrement par des ouverts, non ?
Ou sinon, les sont ouverts pour
?
Dans la deuxième partit :
soit un recouvrement de
par des ouverts de
cad
.
Comme précédemment, est un recouvrement de
et
est un recouvrement de
.
Donc on a et
.
Mais est-ce que et
sont compact ?
Salut,
je t'ai déjà dit que {x_n} n'est pas compact en général.
Prends par exemple {x_n=1/n}.
Si tu as un recouvrement de ton ensemble par des ouverts, alors tu as en particulier un ouvert qui contient x, tu es d'accord?
Que dire des ouverts qui contiennent x, lorsque x est la limite des x_n?
On en a parlé y'a moins de 24h...
Pour mes C_i, oui ce sont des ouverts de E (de toute façon, quand on parle d'ouvert, sauf mention contraire, ils sont relatifs à l'espace le plus grand sur lequel on travaille)
Si je suis ton raisonnement pour montrer que n'est pas compact.
Soit un recouvrement de cet ensemble par des ouverts :
.
Donc il existe un i tel que .
On sait que . Quand tu dit qu'on en a parlé c'était avec Bolzano-Weierstrass ? Parce que je vois pas ou ça aboutit à une contradiction. On doit repasser par les valeurs d'adhérences ?
Déjà, tu dis qu'il existe i tel que {1/n, n dans N} inclus dans O_i.
Si c'était vrai, l'ensemble serait compact.
Est-ce que de toute suite, tu peux en extraire une sous suite convergente?
La suite la plus simple, ici est 1/n. Peux-tu extraire une sous suite convergente de celle ci?
Pour le reste, ne passe surtout pas par Bolzano-Weierstrass. On utilise Heine-Borel et en général, on ne mélange pas trop les deux (l'un implique l'autre et dans les espaces métriques, ils sont équivalents, donc c'est inutile de les mélanger). Reste avec Heine-Borel et utilise le fait que si une suite converge vers x, alors pour tout voisinage de x, que dire des points de la suite qui ne sont pas dans ce voisinage ?
On prend la sous-suite , qui est convergente vers 0 non ?
Les points qui ne sont pas dans ce voisinage forment un ensemble fini ?
Les points qui ne sont pas dans ce voisinage forment un ensemble fini ?
Oui !!
Et donc?
L'ensemble des {1/n} ne contient pas ses points d'accumulation, il n'est pas compact. Tu ne peux pas extraire de sous suite convergente de toute suite de cet ensemble.
On dirait que tu essaies de montrer qu'il est compact, alors qu'il ne l'est pas.
C'est comme dans l'exercice d'hier, à partir d'un certain rang, tous les éléments de cette ensemble sont dans tout voisinage de x ?
En faite j'essaie de faire comme si on me poser la question de savoir si était compact, en repassant par la définition avec les recouvrements. Il faut donc montrer qu'on arrive à une contradiction, non ?
C'est comme dans l'exercice d'hier, à partir d'un certain rang, tous les éléments de cette ensemble sont dans tout voisinage de x ?
Oui, mais c'est surtout la définition 
Il faut donc montrer qu'on arrive à une contradiction, non ?
Si tu veux, mais c'est plus simple de trouver un sous recouvrement qui n'a pas de sous recouvrement fini. Pour celà, tu devras peut être procédé par contradiction.
Par exemple, considère le boule ouverte B_n de centre 1/n et de rayon r_n=(1/(n-1)+1/(n+1))/4.
L'ensemble de ces boules est un recouvrement de {1/n, n dans N}, mais tu ne peux pas en extraire un sous recouvrement fini.
Ma question c'est de savoir comment montrer que n'est pas compact ?
On prend .
Pour tout recouvrement de par des ouverts de
, peut on extraire un recouvrement fini ?
c'est un bon raisonnement ou pas ?
Vu l'heure de ton post, je ne sais pas si tu as eu le temps de lire ce que je t'ai écrit juste avant. Nos posts ont du se chevaucher.
As tu lu ce que j'ai écrit à 11h56 ?
post-croisé.
autrement dit
ce que je comprend pas c'est la variable i, elle est muette la ou non ?
Sinon il faudrait prendre B(\frac{1}{i},\frac{\frac{1}{i-1}+\frac{1}{i+1}}{4} ?
ce que je comprend pas c'est la variable i, elle est muette la ou non ?
Moi je n'ai jamais parlé de variable i.
Me revoila!
Alors je ne saisi toujours pas ceci :
Par exemple, considère le boule ouverte B_n de centre 1/n et de rayon r_n=(1/(n-1)+1/(n+1))/4.
L'ensemble de ces boules est un recouvrement de {1/n, n dans N},
Salut,
je me suis trompé dans le rayon, je voulais écrire
r_n=(1/(n-1) - 1/(n+1))/4
Que ne comprends tu pas ?
Est-ce si difficile ici de montrer que (B_n) forme un recouvrement de {1/n} ?
Par construction de B_n c'est trivial pourtant.
Je n'ai pas l'impression que tu saches ce que tu fais, ni ce que tu dois faire.
C'est quoi I ?
Est ce que pour tout n, il existe une boule Bn, appelons là A(n) qui contienne 1/n?
On l'appelle A(n), parce que ce n'est pas dit que cette boule soit exactement Bn, mais cette boule dépend du 1/n choisi.
Si oui, alors trivialement, l'union sur les n des A(n), et donc des Bn, va être un recouvrement de
{1/n, n dans N} non?
C'est la base de la théorie des ensembles, niveau L1.
J'essaie d'appliquer la définition, mais le problème je ne sais de quel ensemble on parle. Quel ensemble est un recouvrement de quel ensemble ? I c'est un ensemble qu'il soit fini ou pas. Mais la je comprends de moins en moins!
Est ce que pour tout n ?
Donc il faut trouver une boule pour laquelle effectivement ça marche ?
Ainsi, donc
recouvrement de
?
On cherche à recouvrir (et à montrer que ce recouvrement ne possède aucun sous recouvrement fini) depuis le départ
{1,1/2,1/3,...}={1/n, n dans N}
Quelle est la définition de B_n?
Pourquoi, ainsi, l'union de ces B_n recouvre {1/n, n dans N} ??
considère le boule ouverte B_n de centre 1/n et de rayon r_n=(1/(n-1)-1/(n+1))/4
Cette boule est ainsi défini :
Je ne sais pas répondre à ta dernière question!
Ce que tu dis n'a aucun sens.
Tu as un ensemble que je fixe et que j'appelle B_n et que j'ai défini au début.
Je te demande quels éléments de {1,1/2,1/3,...} sont dans cet ensemble.
Il me semble que la question est claire quand même.
En terme mathématiques, ça donnerait ceci:
Que vaut ?
C'est un exercice vraiment élémentaire quand même.
Soit un élément de
.
Donc est dans
: il existe
tel que
Et est dans
donc
cad
Je vois pas comment décrire ces éléments a qui sont dans .
En général, quand on n'arrive pas à résoudre un problème, on fait un dessin.
As tu fait un dessin?
Parce que c'est vraiment trivial, je ne peux pas t'aider plus sans te donner la solution.
Si tu n'arrives pas à déterminer tous les points de l'intersection, essaie au moins d'en trouver un seul...
Ce que je ne saisi pas, c'est qu'elle distance utilise-t-on ici ?
Par exemple j'essaie de voir si est dans l'intersection.
est clairement dans
.
Maintenant a-t-on ? Mair pour quelle
?
Bonsoir tout deux,
si je me rappelle bien la question est de montrer que {x}
{xn,n
} est compact...
on sait que xn->x...
donc xn vit dans la boule de centre x de rayon r(r>0)
et on a sauf erreur
{x}{xn,n}
{xn1}...{x[sub]np}B(x,r)
et comme diam({xni})=0 i dans [1,p] on a bien ce qu'on veut.
Sauf erreur bien entendu.
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