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Petit exercice sur la compacité pour amage
Bonjour
Voici un exercice pour amage suite au message suivant 
Topologie sur un espace vectoriel normé donné
Soit
1 Montrer qu'il existe
2 Est-ce le cas si
salut mousse42
je me permets de proposer un complément (en quelque sorte une partie B) qui me vient à l'idée tout de suite donc je me permets de l'écrire tout de suite ...
soit une fonction continue et strictement positive
pour tout entier n on pose :
a/ montrer que :
b/ donner un exemple d'une fonction f telle que
c/ donner un exemple d'une fonction f telle que est aussi grand qu'on le veut je n'ai pas vraiment de solution mais une idée sur celle-là
au travail ? un dimanche ? dans quoi si ce n'est pas indiscret ...
de toute façon je te laisse faire dans un premier temps et de plus c'est surtout à amage d'agir ... 
Bonjour,
c/ donner un exemple d'une fonction f telle que
Pas sûr d'avoir compris...la suite est décroissante...au travail ? un dimanche ? dans quoi si ce n'est pas indiscret ...
de toute façon je te laisse faire dans un premier temps et de plus c'est surtout à amage d'agir ...
Je bosse dans la grande distribution. Il semble que amage ne travaille pas les maths le dimanche.
Bonjour, je m'excuse du retard de ma réponse. Je me mets sur cet exercice et j'espère le réduire en miettes .
Foxdevil : que penses-tu de la fonction f définie par où p est un entier et une fonction qui se déduit de celle la par translation de la bosse qui devient aussi haute que l'on veut ...
désolé mon exemple ne pas pas puisque la fonction s'annule en 0 ...
plutôt un truc du genre : et même sans valeur absolue dans l'exponentielle ...
Hmmm....l'exemple est intéressant, mais sauf erreur de ma part, son inf vaudra toujours 0 (atteint pour x=0), et comme pour tout n...elle ne satisfait pas les hypothèses de l'énoncé.
Mais j'avais mal compris un détail et c'est plus clair maintenant. Pour avoir l'inf qu'on veut, il suffit de rajouter une constante strictement positive et c'est bon (une simple exponentielle fait l'affaire).
merci de ta compréhension ...
tout d'abord une fonction constante (non nulle) vérifie les hypothèses et la suite (u_n) est donc constante ... donc aussi grande que l'on veut ...
ensuite oui je voulais "construire" une fonction f pour laquelle la suite est croissante puis décroissante ... mais cela est évidemment stupide car mes intervalles [-n, n] sont emboîtés ...
merci ... en fait il faudrait considérer des intervalles (fermés bornés toujours bien sûr) du type [n, n + 1] ...
tout d'abord une fonction constante (non nulle) vérifie les hypothèses et la suite (u_n) est donc constante ... donc aussi grande que l'on veut ...
ensuite oui je voulais "construire" une fonction f pour laquelle la suite est croissante puis décroissante ... mais cela est évidemment stupide car mes intervalles [-n, n] sont emboîtés ...
merci ... en fait il faudrait considérer des intervalles (fermés bornés toujours bien sûr) du type [n, n + 1] ...
Oui effectivement si c'était ton objectif, c'est là une meilleure idée Je suis toujours entrain de réfléchir sur ces exercices je vous ferai part de mes résultats dès que je trouverai quelque chose.
Bonjour !
Par rapport à la partie B de l'exercice(celle proposée par carpediem), voici ce que j'ai fais :
1) Montrons que Un > 0 pour tout n :
on a : Un = inf{ f(x), x 
[-n ; n]}
En utilisant la caractérisation de la borne inférieure, pour tout 
> 0,
f(x) {f(x), x [-n , n]} /
f(x) < Un + et en particulier, pour = f(x) > 0, on a :
f(x) < Un + f(x) soit, 0 < Un et par conséquent, Un > 0 
n 
.
2) Cherchons f(x) / lim Un = 0(n 
+
) :
En posant f(x) = ,
x 
, et en particulier à [-n , n],
Or, par définition de Un,
f { f(x), x [-n,n]},
Un 
f(x) et par passage aux limites,
= 0,
.
Mais , d'après 1), n ,Un > 0 et par passage aux limites, .
Finalement,
lim Un 0 et lim Un > 0 : d'où
.
3) f(x) = 
, avec >0 convient.
Bonjour !
Par rapport à la partie B de l'exercice(celle proposée par carpediem), voici ce que j'ai fais :
1) Montrons que Un > 0 pour tout n :
on a : Un = inf{ f(x), x
[-n ; n]}
En utilisant la caractérisation de la borne inférieure, pour tout
> 0,
f(x) {f(x), x [-n , n]} /
f(x) < Un +
et en particulier, pour = f(x) > 0, on a :
f(x) < Un + f(x) soit, 0 < Un et par conséquent, Un > 0
n .
2) Cherchons f(x) / lim Un = 0(n
+) :
En posant f(x) =
x , et en particulier à [-n , n],
f { f(x), x [-n,n]},
Un
f(x) et par passage aux limites,
Mais , d'après 1),
n ,Un > 0 et par passage aux limites, Finalement,
lim Un
0 et lim Un > 0 : d'où
3) f(x) =
, avec >0 convient.Non c'est une erreur c'est plutôt :
En posant f(x) =
1/ ça ne va pas
2/ ta fonction n'est pas définie sur R ...
aide pour la 2/ : penser à une fraction rationnelle relativement simple
REM : mon échange avec Foxdevil peut peut-être t'inspirer ... mais en bien plus simle ...
1/ c'est la même chose que ce que demande mousse42 car les intervalles [0, 1] ou [-n, n] c'est la même chose ... donc je lui laisse la main pour l'instant ...
REM : sa question 2/ est équivalente à ma question b/
Bonjour !
Par rapport à la partie B de l'exercice(celle proposée par carpediem), voici ce que j'ai fais :
1) Montrons que Un > 0 pour tout n :
on a : Un = inf{ f(x), x
[-n ; n]}
En utilisant la caractérisation de la borne inférieure, pour tout
> 0,
f(x) {f(x), x [-n , n]} /
f(x) < Un +
et en particulier, pour = f(x) > 0, on a :
f(x) < Un + f(x) soit, 0 < Un et par conséquent, Un > 0
n .
Le "en particulier pour [...]", ne tient pas la route.
Soit
Pour un
Peut-on connaître tes prérequis. Quels sont les chapitres de ton cours où se trouve la compacité.
Salut
Je te donne une amorce .
Puisque est définie sur
, l'ensemble
est non vide, l'hypothèse :
strictement positive nous permet de déduire que
est minoré par
, par conséquent il existe un infimum.
Je te laisse terminer
Là je te laisse terminer ...
Salut
Je te donne une amorce .
Puisque est définie sur
, l'ensemble
est non vide, l'hypothèse :
strictement positive nous permet de déduire que
est minoré par
, par conséquent il existe un infimum.
On note
Je te laisse terminer
1/ ça ne va pas
2/ ta fonction n'est pas définie sur R ...
aide pour la 2/ : penser à une fraction rationnelle relativement simple
REM : mon échange avec Foxdevil peut peut-être t'inspirer ... mais en bien plus simle ...
1/ c'est la même chose que ce que demande mousse42 car les intervalles [0, 1] ou [-n, n] c'est la même chose ... donc je lui laisse la main pour l'instant ...
REM : sa question 2/ est équivalente à ma question b/
D'accord merci beaucoup.
J'ai pensé à la fonction f(x) = 1/x.
Bonjour !
Par rapport à la partie B de l'exercice(celle proposée par carpediem), voici ce que j'ai fais :
1) Montrons que Un > 0 pour tout n :
on a : Un = inf{ f(x), x
[-n ; n]}
En utilisant la caractérisation de la borne inférieure, pour tout
> 0,
f(x) {f(x), x [-n , n]} /
f(x) < Un +
et en particulier, pour = f(x) > 0, on a :
f(x) < Un + f(x) soit, 0 < Un et par conséquent, Un > 0
n .
Le "en particulier pour [...]", ne tient pas la route.
Soit
Pour un
Peut-on connaître tes prérequis. Quels sont les chapitres de ton cours où se trouve la compacité.
Pour mon cours, il y a que le dernier grand titre du chapitre qui définit la notion de compacité et donne trois propriétés :
P1)Toute intersection de compact est un compact
P2)Toute réunion finie de compact est un compact
P3)Tout compact est complet.
Je ne sais donc pas si je dispose via mon cours de tous les éléments pour traiter certains exercices sur la compacité.
Salut
Je te donne une amorce .
Puisque
On note
Je te laisse terminer
f étant est définie sur R, l'ensemble A={f(x), x
[0,1]} est non vide, et, l'hypothèse : f strictement positive permet de déduire que A est minoré par 0, par conséquent il existe un infimum. Et en notant = infA,
x [0,1], f(x) d'où :
=inf A>0 / x [0,1] : f(x) 
En supposant =0, >0, f(x) A tel que :
f(x) < 0 + i.e f(x) < donc :
0 < f(x) < et en particulier, pour = 1/2n,
0 < f(x) < 1/2n et par passage aux limites,
lim f(x) = 0(x +) aussi, f(x) > 0 et par conséquent,
lim f(x) > 0(x +). Finalement,
lim f(x) = 0(x +) et lim f(x) > 0(x +) : contradiction d'où >0
En supposant
=0, >0, f(x) A tel que :
f(x) < 0 +
i.e f(x) < (comment montres-tu l'existence de cet élément? ça vient d'où cette déduction) donc :
0 < f(x) <
et en particulier, pour = 1/2n, (même problème si tu poses \varepsilon =1/n, en supposant que ta proposition précédente est juste (et elle est fausse), on aurait l'existence dans élément dans A pour chaque valeur de n
0 < f(x) < 1/2n et par passage aux limites, (le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes) prend l'exemple de la fonction
lim f(x) = 0(x
+) aussi, f(x) > 0 et par conséquent, (je comprends pas pourquoi on a une limite en Ensuite j'arrête, on est dans la 4ème dimension
lim f(x) > 0(x
+). Finalement,
lim f(x) = 0(x
+) et lim f(x) > 0(x +) : contradiction d'où >0Je te repose la question, tu as quel niveau, quel est l'intitulé de ton cours (espaces métriques, suites et fonctions), est-ce une reprise d'étude, as-tu fait une prépa? On pourra te donner de meilleurs conseils. Il y a des choses à revoir avant la compacité car pour le moment toutes des déductions n'ont du sens que dans
je me permets d'intervenir car tout cela est bien confus et on en sais plus où on en est ...
1/ traitons d'abord l'exercice de mousse42 tout en constatant que sa question 1/ et ma question a/ sont identiques : travailler sur les intervalles [0, 1] ou [-n, n] c'est la même chose car ce sont deux compacts de R ...
2/ l'ensemble A défini par mousse42 intervient dans une certaine mesure mais c'est à cause de l'intervalle [0, 1] (ou [-n, n] pour ce que j'ai proposé) et il est donc préférable de travailler avec la variable plutôt qu'avec son image
3/ par hypothèse sur f l'ensemble A est minorée par 0 donc il possède une borne inférieure m positive et le pb est de montrer qu'elle est strictement positive ...
4/ maintenant revenons à la définition de la borne inf :
5/ maintenant je ne vois pas trop comment mousse42 veut conclure car ça me semble différent du fil initial de amage ... voyons ce que mousse42 nous dira ...
finissons donc cette question 1/ avant de passer à la question 2/ ... en lien avec ma question b/
en particulier
J'ai pensé à la fonction f(x) = 1/x.
mais on y reviendra plus tard !!
carpediem, c'est exactement le même principe que l'autre exercice, étant la borne inférieure de
, il existe une suite
tel que
... à partir de (y_n) on déduit l'existence d'une suite
telle que
certes mais je ne vois pas comment tu vas en déduire que a > 0 ... sans utiliser la continuité de f ...
je n'ai jamais dit que je n'allais pas utiliser la continuité de , d'aiileur l'argument de continuité termine la preuve.
ha ok mais donc ce n'est pas la caractérisation séquentielle dans un compact que tu utilises (comme dans l'autre fil) ...
si une fois l'existence de la suite établie, on utilise une sous suite qui converge vers
dans
, la continuité et la positivité de
permettent de conclure
Pour mon niveau, j'étais en Math Sup et sera en Math Spé en Septembre. Actuellement je suis entrain de me préparer pour l'année prochaine.
Donc il faudrait peut être revoir le chapitre sur la borne supérieure et inférieure, les suites, la continuité ...
Voici un document pour t'aider à rédiger une preuve (c'est un lien temporaire)
Et revoir la partie prédicats, quantificateurs...
Bon courage
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