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S'il vous plait j'ai une question relative au fait que : A est compact, donc bornée et donc, d(A) est aussi bornée par conséquent, il existe une suite de couples ((an, bn))n
de A² tels que d(a_n, b_n) --> d(A). est-ce qu'il n'est pas nécessaire de démontrer cela avant de l'utiliser ?
par définition d(A) = sup {d(x, y) / (x, y) A2} et par définition du sup 
une suite (an, bn) telle que d(a_n, b_n) --> d(A) ...
or de toute suite d'un compact tu peux en extraire une suite convergente ...
amage @ 25-07-2020 à 14:42
S'il vous plait j'ai une question relative au fait que : A est compact, donc bornée et donc, d(A) est aussi bornée par conséquent, il existe une suite de couples ((an, bn))n de A² tels que d(a_n, b_n) --> d(A). est-ce qu'il n'est pas nécessaire de démontrer cela avant de l'utiliser ?
S'il vous plait j'ai une question relative au fait que : A est compact, donc bornée et donc, d(A) est aussi bornée par conséquent, il existe une suite de couples ((an, bn))n
de A² tels que d(a_n, b_n) --> d(A). est-ce qu'il n'est pas nécessaire de démontrer cela avant de l'utiliser ?J'apporte un complément au message de
carpediem @ 25-07-2020 à 16:14
par définition d(A) = sup {d(x, y) / (x, y) A2} et par définition du sup une suite (an, bn) telle que d(a_n, b_n) --> d(A) ...
or de toute suite d'un compact tu peux en extraire une suite convergente ...
par définition d(A) = sup {d(x, y) / (x, y)
A2} et par définition du sup une suite (an, bn) telle que d(a_n, b_n) --> d(A) ...
or de toute suite d'un compact tu peux en extraire une suite convergente ...
Et c'est à ce niveau que je vais développer :La caratérisation de la borne supérieure dit qu'il existe une suite
Je termine la preuve :
Puisque
Remarque que
Et c'est là où je pense que l'on peut pas se passer de la continuité de
Je crois que l'on peut pas mieux développer
Oui, j'ai donné une preuve pour exemple, pour compenser voici un petit exercice de mon cours qui demande un raisonnement similaire 
Petit exercice sur la compacité pour amage
mousse42 @ 26-07-2020 à 00:32
J'apporte un complément au message de
)
est la borne supérieure de l'ensemble  : (x, y)\in A^2\})
Et c'est à ce niveau que je vais développer :La caratérisation de la borne supérieure dit qu'il existe une suite)
à valeurs dans  : (x, y)\in A^2\})
qui converge vers , or  : (x, y)\in A^2\})
est l'image directe de 
par 
donc pour tout
il existe un couple \in A\times A)
tel que )
, voilà comment on obtient la suite \big)_{n\in \N}\subset A^2)
Je termine la preuve :
Puisque
est compact, il existe une sous-suite de qui converge, on note cette sous-suite },b_{\phi(n)})\big)_{n\in \N})
et \in A^2)
sa limite.
Remarque que},b_{\phi(n)})\big)_{n\in \N})
est aussi une sous-suite de \big)_{n\in \N})
, par conséquent },b_{\phi(n)})\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}\delta(A))
(si une suite converge alors toutes ses sous-suites convergent vers la même limite)
Et c'est là où je pense que l'on peut pas se passer de la continuité de pour justifier la seconde égalité :
=\lim_{n\to +\infty}d(a_{\phi(n)},b_{\phi(n)})=d\big(\lim_{n\to +\infty}(a_{\phi(n)},b_{\phi(n)})\big)=d(a,b)\quad \square)
Je crois que l'on peut pas mieux développer
amage @ 25-07-2020 à 14:42
S'il vous plait j'ai une question relative au fait que : A est compact, donc bornée et donc, d(A) est aussi bornée par conséquent, il existe une suite de couples ((an, bn))n de A² tels que d(a_n, b_n) --> d(A). est-ce qu'il n'est pas nécessaire de démontrer cela avant de l'utiliser ?
S'il vous plait j'ai une question relative au fait que : A est compact, donc bornée et donc, d(A) est aussi bornée par conséquent, il existe une suite de couples ((an, bn))n
de A² tels que d(a_n, b_n) --> d(A). est-ce qu'il n'est pas nécessaire de démontrer cela avant de l'utiliser ?J'apporte un complément au message de
carpediem @ 25-07-2020 à 16:14
par définition d(A) = sup {d(x, y) / (x, y) A2} et par définition du sup une suite (an, bn) telle que d(a_n, b_n) --> d(A) ...
or de toute suite d'un compact tu peux en extraire une suite convergente ...
par définition d(A) = sup {d(x, y) / (x, y)
A2} et par définition du sup une suite (an, bn) telle que d(a_n, b_n) --> d(A) ...
or de toute suite d'un compact tu peux en extraire une suite convergente ...
Et c'est à ce niveau que je vais développer :La caratérisation de la borne supérieure dit qu'il existe une suite
Je termine la preuve :
Puisque
Remarque que
Et c'est là où je pense que l'on peut pas se passer de la continuité de
Je crois que l'on peut pas mieux développer
Vraiment merci beaucoup @mousse42 car je dois avouer que vous m'avez(@carpediem et vous) appris pleines de choses à partir de cet exercice et la difficulté pour moi ce situait surtout au niveau de la rédaction d'autant plus sur cette question là encore merci !
mousse42 @ 26-07-2020 à 11:35
Oui, j'ai donné une preuve pour exemple, pour compenser voici un petit exercice de mon cours qui demande un raisonnement similaire Petit exercice sur la compacité pour amage
Oui, j'ai donné une preuve pour exemple, pour compenser voici un petit exercice de mon cours qui demande un raisonnement similaire
Petit exercice sur la compacité pour amageD'accord merci je vais faire cet exercice afin de mieux comprendre encore ces notions.
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