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Posté par
robby3re : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 12:17

Citation :
Ensuite il n'y a pas besoin de faire des calculs pour la réciproque puisque la fonction  est inversible.

> bien vu!


si si, le tristement célebre...

Posté par
H_aldnoerre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 14:05

Je n'y arrive toujours pas!
Voila ce que je comprend.
Nous avons que \Large{h(R,A)=(X,Y)}.
Le but c'est de calculer \Large{\mathbb{E}[h(R,A)]} et de le mettre sous la forme \Large{\Bigint\Bigint_{\mathbb{R}^2}h(r,a)g(r,a)drda.
On pourra conclure que \Large{g(r,a) est la densité du couple \Large{(R,A) et ainsi trouver les lois de chaque variables aléatoires.

Est-ce cela ?

Posté par
robby3re : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 14:16

Re,
quand tu écris \large h(R,A)=(X,Y)
tout l'interet me semble t-il réside dans le fait que tu sais que X et Y sont des variables aléatoires indépendnates suivant la loi normale centrée réduite.

quand tu écris:
"le but est de calculer...[...]"
c'est pas le but puisque c'est la définition meme(sauf erreur).
c'est juste que comme \large h(R,A)=(X,Y),h(r,a)=\frac{1}{2\pi}.exp(-\frac{x^2+y^2}{2}).

Posté par
H_aldnoerre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 14:21

Je ne comprend pas le passage \Large{h(R,A)=(X,Y)\,\Rightarrow\,h(r,a)=\frac{1}{2\pi}exp(-\frac{x^2+y^2}{2}).

Cela traduit l'égalité \Large{f_{h(R,A)}=f_{(X,Y)} ?

Posté par
robby3re : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 14:26

En fait quand on écrit \large h(R,A)=(X,Y), on parele de variables aléatoires(selon les notations de Stokastik) donc, quand on écrit
\large h(r,a),je pense que c'est sous-entendu \large f_{h(A,A)}...qui vaut alors bien \large f_{(X,Y)}

Posté par
H_aldnoerre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 17:53

Je comprends mieux mais j'ai vraiment du mal sur la rédaction.
La densité caractérise-t-elle la loi ?

Citation :
en fait il aurait mieux fallu calculer directement la densité du couple \Large{(R^2,A)}.

?

Comment mener à bien l'équivalence.
\Large{(X,Y)\sim\mathcal{N}(0,I_2)
\Leftrightarrow \Large{f_{(X,Y)}(x,y)=\frac{1}{2\pi}exp(-\frac{x^2+y^2}{2}) et \Large{h(R,A)=(X,Y)
\Leftrightarrow ...?

Posté par
H_aldnoerre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 21:11

Je m'arrache les cheveux sur la rédaction !
\Large{(X,Y)\sim\mathcal{N}(0,I_2)

\Large{\Leftrightarrow}

\Large{\mathbb{E}[(X,Y)]=\mathbb{E}[h(R,A)]=\Bigint\Bigint_{\mathbb{R}^2}h(r,a)f_{(R,A)}(r,a)drda

Est-ce correct pour l'instant ?

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 21:15

Bon mon gars t'affole pas je vais te la faire ta rédac'

Passe plus tard ou demain matin

Posté par
H_aldnoerre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 21:25

Merci!

Posté par
robby3re : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 21:38

Citation :
Bon mon gars t'affole pas je vais te la faire ta rédac'

>

Posté par
H_aldnoerre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 21:41

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 22:24


Soit (X,Y) un couple aléatoire distribué selon la loi \mathcal{N}(0,I_2).La densité de (X,Y), que nous notons f, est donc définie par f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{2}\right) pour x,y\in{\bb R}.

Soit h la fonction définie par \Large{h(r,a)=(rcos(a),rsin(a))} pour r>0 et a \in ]0,2\pi[. On sait que h est une bijection de ]0,+\infty[ \times ]0,2\pi[ sur {\bb R}^2 ; son inverse h^{-1} est la fonction de "passage en coordonnées polaires".

Soit (R,A) le couple de variable aléatoires défini par (R,A)=h^{-1}(X,Y). Nous allons déterminer la loi du couple (R,A). On considère une fonction \phi: ]0,+\infty[ \times ]0,2\pi[ \to {\bb R}_+ continue bornée (quelconque). On a

3${\bb E}\left[\phi(R,A)\right]={\bb E}\left[\phi(h^{-1}(X,Y))\right]= \int\int\phi(h^{-1}(x,y))f(x,y)dxdxy

Le changement de variables en coordonnées polaires donne:

4$\int\int\phi(h^{-1}(x,y))f(x,y)dxdxy=\int_{]0,2\pi[}\int_{{\bb R}_+}\phi(r,a)f(r\cos a, r\sin a)rdr da

et après calcul (à faire) on trouve

4$\int_{]0,2\pi[}\int_{{\bb R}_+}\phi(r,a)f(r\cos a, r\sin a)rda dr = \int_{]0,2\pi[}\int_{{\bb R}_+}\phi(r,a)\frac{1}{2\pi}r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right)dadr \\ =\int\int\phi(r,a)\left(\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a) \times r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)\right) dadr

Finalement, on trouve

5${\bb E}\left[\phi(R,A)\right]=\int\int\phi(r,a)g(r,a)dadr

avec
5$g(r,a)=\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a) \times r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r).

Ceci montre que la fonction 4$g est la densité du couple 3$(R,A).

... la suite plus tard...  des questions?

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 22:27

non mais sans déconner j'ai pas suivi, bertrand il est de retour dans l'hexagone et vous l'avez vu?

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 22:28

non mais sans déconner j'ai pas suivi, bertrand il est de retour dans l'hexagone et vous l'avez vu?



(erreurs de balises dans le post précédent)

Posté par
robby3re : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 22:43

ça fait quelque temps qu'il est dans l'hexagone déjà...son frere habite à gradignan(à bordeaux quoi...)

merci pour la super rédaction!

Posté par
H_aldnoerre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 22:46

C'est beaucoup plus clair!
La densité caractérise donc la loi ?

Pour Bertrand Cantat, il est bien en France!

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 22:57

suite du 09/06/2008 à 22:24

...

avec
5$g(r,a)=\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a) \times r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r).

Ceci montre que la fonction 4$g est la densité du couple 3$(R,A).

On remarque que pour tout r\in{\bb R}_+ et tout a \in ]0,2\pi[, on a

5$g(r,a)=g_1(r)\times g_2(a)

avec
4$g_1(r)=r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)
et
4$g_2(a)=\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a).

Ceci montre que:

- R et A sont des variables aléatoires indépendantes ;

- la fonction g_1 est la densité de R ;

- la fonction g_2 est la densité de A.


la suite demain peut-être... c'est vrai que cette démonstration est assez lourde à rédiger dans le contexte d'un exo pour étudiant... bye bye

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 22:58

Citation :
La densité caractérise donc la loi ?


oui!

à la prochaine

Posté par
H_aldnoerre : Petit lemme en probabilité 09-06-08 à 23:07

Donc on peut immédiatement tirer que \Large{A\sim%20\mathcal{U}([0,2\pi])}.
Par contre, il reste à montrer \Large{R^2\sim%20\mathcal{E}(\frac{1}{2})} c'est bien ça ?

A+
Encore merci!

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 10-06-08 à 06:46

Oui mais je suis allé un peu trop vite (à 22:57), il faudrait dire que g1 et g2 sont des densités, j'y reviendrai plus tard.

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 10-06-08 à 08:25

reprise du 09/06/2008 à 22:57

On remarque que pour tout r\in{\bb R}_+ et tout a \in ]0,2\pi[, on a

5$g(r,a)=g_1(r)\times g_2(a)

avec
4$g_1(r)=r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)
et
4$g_2(a)=\frac{1}{2\pi}{\bb 1}_{]0,2\pi[}(a).

Ceci montre que:

- R et A sont des variables aléatoires indépendantes car la denisté du couple se factorise en le produit d'une fonction de r et d'une fonction de a ;

- la fonction g_1 est, à une constante multiplicative près, la densité de R ;

- la fonction g_2 est, à une constante multiplicative près, la densité de A.

Mais on remarque que g_2 est la densité de {\bb U}(0,2\pi), et donc c'est en fait exactement la densité de A. dès lors, g_1 est aussi une densité et c'est celle de R.

Maintenant déterminons la loi de R^2. Soit w:{\bb R}_+\to {\bb R}_+ une fonction continue bornée positive (quelconque). Alors on a

{\bbE}[w(R^2)]=\int w(r^2)g(r)dr=\int w(r)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr.

Le changement de variable z=r^2 donne alors (vérifie)

{\bbE}[w(R^2)]=\int w(z)g_1(\sqrt{z})dz=\int w(z)\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{z}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(z)dz.

On  a donc écrit

{\bbE}[w(R^2)]=\int w(z)g_1(\sqrt{z})dz=\int w(z)m(z)dz

où m est la densité de {\bbE}(1/2). Ceci montre que...

plus le temps!

Posté par
H_aldnoerre : Petit lemme en probabilité 10-06-08 à 15:40

Merci stokastik, je vais regarder tout à l'heure à tête reposé.

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 10-06-08 à 17:25

reprise de ce matin

...

Mais on remarque que g_2 est la densité de {\cal U}(0,2\pi), et donc c'est en fait exactement la densité de A. dès lors, g_1 est aussi une densité et c'est celle de R.

Maintenant déterminons la loi de R^2. Soit w:{\bb R}_+\to {\bb R}_+ une fonction continue bornée positive (quelconque). Alors on a

3${\bb E}[w(R^2)]=\int w(r^2)g(r)dr=\int w(r)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr.

Le changement de variable z=r^2 donne alors (vérifie)

3${\bb E}[w(R^2)]=\int w(z)g_1(\sqrt{z})dz=\int w(z)\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{z}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(z)dz.

On  a donc écrit finalement

4${\bb E}[w(R^2)]=\int w(z)m(z)dz,

ce qui montre que m est la densité de R^2, et on reconnaît la densité de la loi {\cal E}(1/2).

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 10-06-08 à 17:47

Pour la réciproque je trouve ça bête de refaire des calculs ; je dirais que c'est une conséquence de la remarque générale suivante.


Soit \bar{h} la bijection de ]0,+\infty[ \times ]0,2\pi[ sur {\bb R}^2 définie par \Large{\bar{h}(r,a)=(r^2cos(a),r^2sin(a))} pour r>0 et a \in ]0,2\pi[.

Ce qu'on a vu précedemment se dit en d'autres termes que: la loi image de la loi 2${\cal N}(0,I_2) par la fonction 2$\bar{h}^{-1} est la loi 2${\cal E}(1/2) \otimes {\cal U}(0,2\pi).

Or il est clair que l'application "image par 2$\bar{h}^{-1}" qui, à une loi sur sur {\bb R}^2, associe sa loi image par 2$\bar{h}^{-1}, définit une bijection  
de l'ensemble des lois sur {\bb R}^2 dans l'ensemble des lois sur {\bb R}_+\times]0,2\pi[ ; son inverse est "l'image par 2$\bar{h}".

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 10-06-08 à 17:51

Correction de 10/06/2008 à 17:25 (erreurs d'étourderie dans la première ligne mathématique)

Il faut remplacer

3${\bb E}[w(R^2)]=\int w(r^2)g(r)dr=\int w(r)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr

par

5${\bb E}[w(R^2)]=\int w(r^2)g_1(r)dr=\int w(r^2)r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right){\bb 1}_{{\bb R}_+}(r)dr.

Posté par
H_aldnoerre : Petit lemme en probabilité 12-06-08 à 00:23

Bonsoir stokastik,
merci pour ces réponses et surtout cette rédaction. Je vais reprendre tous ces calculs calmement, ce qui m'inquiète beaucoup c'est de devoir écrire tout ceci pour montrer une équivalence!
Surtout qu'il existe une suite que je rédigerai une fois tout ceci compris.

Posté par
stokastikre : Petit lemme en probabilité 12-06-08 à 09:59

Ouaip. Remarque que je fais 2 changements de variables: un le 09/06/2008 à 22:24, et un le 10/06/2008 à 17:25. On pourrait n'en faire qu'un seul: au lieu de faire le changements de variables de (x,y) à (r,a) (coordonnées polaires), on ferait de (x,y) à (r²,a). On n'aurait alors pas besoin de faire le changement de variables z=r² du 10/06/2008 à 17:25. J'ai choisi de passer par les coordonnées polaires car ce changement de variables étant classique, on peut se permettre de ne pas calculer le jacobien. Si tu fais de (x,y) à (r²,a) alors tu ne feras qu'un changement de variables mais il faudra le détailler.

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