Bonsoir!
t'es arrivé à faire un sens déjà??

X et Y indépendante ou on sait rien?

Non je n'arrive à rien!
J'ai donné l'énoncé tel quel, donc à priori X et Y non indépendants!

(X,Y) est un vecteur gaussien de matrice de variances-covariances diagonale donc X et Y sont indépendants.

pour =>

Soit une fonction dans , mesurable et positive,on a:


donc admet une densité qui vaut:

sauf erreur.

oui Alex..ma question était bete.

J'ai pas tout compris!
robby dans ton dernier post, ou tu montre que et ?

ah oué!!
en fait je suis parti de X et Y suivant le loi normale N(0,1) et X=rcos(a),Y=rsin(a)

En fait, j'ai rien compris à ce que tu as fait!
Mais quand on dit que suit la loi normale , quel est la densité de probabilité du couple ?

bah c'est
non?
(ça fait longtemps pour moi )

moi dans mon calcul à l'ouest,je montre que si X et Y suivent la loi normale centrée réduite et que X=rcos(a) et Y=rsin(a) alors r et a suivent les lois que tu énonces plus haut...

Donc c'est bien ça!
Lorsque dans le cours, il dit que si est un vecteur gaussien de loi , sa densité de probabilité est

Ok, Ok.
Bref, ça nous avance pas!

Erratum, dans l'énoncé au début c'est un sinus :

oui oui toutafé!

À savoir:

Cas unidimensionnel:

Si X a pour densité f(x) et si X=H(Y) où H une fonction injective dérivable, alors la densité de Y est



Cela se démontre facilement en passant par les fonctions de répartions et en dérivant (la valeur absolue unifie les 2 cas "H croissante" et "H décroissante").


Cas multidimensionnel:

Si le couple (X,Y) a pour densité f(x,y) et si (X,Y)=H(U,V) où H est une fonction injective différentiable, alors la densité de (U,V) est



où est le jacobien.

Désolé stokastik, je ne vois pas trop le lien. Peut-tu expliciter?

Dans ton cas, avec et , tu cherches à déterminer la loi du couple . Il suffit d'appliquer ma formule en remarquant qu'on a où est la fonction .

Je n'ai pas cette formule dans mon cours.
Par contre j'ai celle-ci qui semble s'en rapprocher :
Soit deux ouverts de , un vecteur aléatoire à valeurs dans et soit une fonction mesurable définie sur à valeurs dans .
On pose et on veut calculer en fonction de et .
On suppose que est un difféomorphisme de dans et que son Jacobien ne s'annule pas sur .

Alors .

Peut-on l'utiliser ?

Bonjour Stokastik:
tu dis ceci:

parce que dans ce que je fais,je donne bien la loi de a et de r...

@H_aldnoer:

La formule que tu donnes est exactement la même que la mienne


@robby3:

Oui en effet c'est ce que tu as fait, c'est avec ta démarche qu'on voit d'où sort cette formule

Bonjour stokastik,

je préfère utiliser les notations de mon cours si tu veux bien.
On prend donc la fonction définie par .
Il faut que celle-ci soit mesurable, quel sont donc les espaces de départ et d'arrivée ?

Ensuite, j'applique la formule :
.


C'est bien cela?

Il reste donc à trouver le jacobien de la transformation ainsi que l'application inverse ?

robby3 a déjà fait tout ce qu'il faut (posté le 05/06/2008 à 22:23)

J'ai vu avec robby, mais j'ai pas vraiment compris la méthode adoptée.
Nous faisons un calcul d'espérance pour montrer que et ?

Je n'arrive pas à faire le lien.

Définition de la densité:

La fonction   est la densité du couple si et seulement si pour toute fonction 'raisonnable' , on a

.

Normal que tu ne sais pas comment aborder un exo si tu ne t'interroges même pas sur les défnitions des objets en jeu.

Bonsoir stokastik, en cherchant bien dans mon cours, je viens de voir ceci sous une autre forme . Cela figure dans un chapitre nommé transformation, mais ce n'est pas la définition que nous avions pour la densité.

Bref, je comprends mieux mais j'ai beaucoup de mal sur la rédaction.
Si l'on raisonne par équivalence :

On se donne la fonction mesurable . Il faut, me semble-t-il, qu'elle soit un difféomorphisme intégrable. Ce qui est le cas.

J'ai bien compris que l'intérêt réside dans le fait que .

Je ne vois pas comment poursuivre.
Je raisonne par équivalence en partant de quoi ?
De ?

Re,
dans ta premiere formule de latex, tu vois que h est mesurable positive...et ici le f_X ça va etre la densité de X et de Y...qui suivent la loi normale centré réduite.
donc pour moi on part  bien de ce que tu écris.

Donc on part de ?

oui.

Et on a bien que ?

oui.

On fait ensuite le changement de variable , ?

oui.

Ok!
Alors j'obtiens

Je vois pas comment me dépatouiller de ce !

non mais là en fait c'est fini non?
tu as exactement t'as formule de départ(23:42)
tu peux conclure me semble t-il.

Si je comprends bien :



Donc tout ceci c'est la densité de ?

(HS : j'ai vu Bertrand Cantat à la station !)

voilà!!!

(Non!!!:o t'as demandé un autographe ou quoi?
au fait ce matin,j'ai vu le mec à marion pour de vrai mais il s'est pas arrété )

En fait non ça na vas pas car on a !

euhh je comprend pas ce que tu veux dire!

Si je t'assure, il voulait payer en chèque le petit Cantat! Je lui ai dit non non, on prend pas les chèques! Il me sort vous inquiétez pas on va s'arranger! Il est partit chercher dans sa voiture un stock de pièce y'en avait pour plus de 15 euros en petite monnaie!
Je l'avais même pas reconnu, c'est une cliente qui me fait "Eh mais c'est Bertrand Cantat!" et effectivement j'ai regardé de plus près, c'était lui! Sa famille habite gradignan en fait!

Et pour Marion, elle est passée cette aprem'! Elle m'a redonnée la plaque, envoie lui un texto pour lui dire qu'il est passé son mari ^^

(bon bon,on reparle de ça demain!!
là ça va dormir!!...j'ai pas fait de sieste!)
tu me tiens au courant pour demain!

Si j'ai bien compris :
On a une variable aléatoire dont on connait la densité . On se donne une fonction avec certaines propriétés et on veut déterminer la densité de la variable aléatoire .
On a la formule suivante .

Ici, si l'on part de c'est que l'on cherche la densité de non ?

Donc, si je ne me trompe pas, il faut écrire une transformation du type non ?

^{(bonuit!! A demain!)}

Ok!
A demain, vers 15h je pense!
Je t'envoi un texto, j'ai plus beaucoup de forfait!

oui mais en fait c'est ce que je fais dans mon tout premier post...je considere r et a comme des fonctions de petit x et petit y...
tu vois?

Pourtant stokastik fait pareil! le 06/06/2008 à 15:21
Il écrit bien la transformation où , j'y comprends plus rien!

bon je regarde demain...(le pc rame )
mais là c'est h(r,a)=(rcos(a),rsin(a))...et rcos(a)=X,rsin(a)=Y,c'est tout,je vois pas bien ou y'a un soucis...
^{j'y go.++}

On a .
Si l'on veut utiliser la formule, on calul non ?
Je ne vois pas pourquoi on calcul en fait !

Aïe aïe aïe ça s'embourbe là. On s'en fout de E[h(X,Y)]... relis mon post posté le 08/06/2008 à 08:11, j'ai écrit: "pour toute fonction , on a ...."

robby3 posté le 05/06/2008 à 22:23, en appliquant la définitin de stokastik posté le 08/06/2008 à 08:11, a montré que la fonction



est la densité du couple (je me permets de mettre les variables aléatoires en majuscules car c'est bien plus clair ainsi).

Ceci montre que R et A sont indépendantes et que (en fait il aurait mieux fallu calculer directement la densité du couple ).

Ensuite il n'y a pas besoin de faire des calculs pour la réciproque puisque la fonction est inversible.

_{Je suppose que ce Bertrand Cantat c'est pas le même que celui qui est célèbre ?}