Bonjour,

OK pour 1

Pour 2 :
- z'/z est un imaginaire pur, donc z'=ikz, donc z' est sur la droite issue de O et "rotatée" de PI/2 par rapport à la droite Oz

- (z'-1)/(z-1) est un réel, appelons-le k, donc (calcul simple)
z' = kz + (1-k).1       (j'ajoute ce .1 pour ce qui suit)
donc z' est sur la droite joignant les points z et 1

Et l'intersection de 2 droites détermine un point unique...

Hum, petite rectification :

donc l'angle est OU (si on se limite à l'intervalle )

Ensuite, z et z' ne sont pas des points : il serait plus judicieux de dire simplement que .

Mais cela nous fait toujours deux points possibles.
Je n'ai pas eu le temps de regarder de plus près, mais les deux dernières formules doivent donner lequel de ces deux points est correct.

Pas trop d'accord Pece, il y a une identification canonique entre R² et C, et les éléments de C de la forme z=x+iy sont bien des points M(x,y) dans R².

Maintenant, dire que z'= exp(ix).z, c'est exprimer que z' est déduit de z par une rotation de centre 0 et d'angle x. En particulier, z'=iz est le cas particulier x=PI/2.

De plus z' = kz + (1-k).1 est l'espression barycentrique de la droite joignant 1 et z, sur laquelle on se "déplace" en jouant sur le facteur k.

Quant à la troisième condition, je suis à peu près persuadé qu'elle se déduit des deux premières, j'espère avoir une démo "propre" d'ici ce soir

Suite, idée de la démonstration :
il existe un k réel tel que z'=kz+(1-k)
z'/z est imaginaire pur, donc k+(1-k)/z est imaginaire pur
On va calculer la partie réelle de  k+(1-k)/z et on l'égalera à 0, ça nous donnera le k qu'on reportera ensuite dans z'=kz+(1-k) pour trouver z'
On a 1/z = conjugé(z)/|z|² = (Re(z)-iIm(z))/|z|²
D'où Re(k+(1-k)/z) = k + (1-k)Re(z)/|z|² = 0
k(1-Rr(z)/|z|²)) = Re(z)/|z|²
k=Re(z)/(|z|²-Re(z))
On n'est plus très loin du résultat, faut que je rentre chez moi (à pieds...) je reprendrai ça plus tard ce soir si j'ai du courage

Petit complément géométique, qu'est-ce qui se passe quand le point z (ou M(z) pour faire plaisir à Pece) est sur le cercle ? Fais une figure, et tu montreras facilement que les deux droites (la perpendiculaire à 0z passant par 0, et celle joignant z et 1) résultant des deux premières conditions sont parallèles, donc ne se rencontrent pas, et donc z' n'existe pas...  

Je suis désolé mais le cas z'=kiz n'est pas forcément la rotation d'angle .
Cela voudrait dire que est un imaginaire pur positif, or on n'a aucune indication sur k !

Il faut donc prendre en compte les deux possibilités qui vont sûrement (je n'ai tjs pas regardez l'exo de plus près, manque de temps) être infirmée pour l'une et confirmée pour l'autre par les dernières conditions.

Vous avez raison, je suis allé un peu vite, z/z est imaginaire pur, donc il existe a réel tel que z'=iaz, donc z' est déduit de z par une rotation de PI/2 et une homothétie de centre 0 et de rapport a (j'ai changé de notation pour ne pas confondre avec "mon" k). Et quand a varie, l'eensemble des points parcourt bien la droite passant par 0 et iz.
Finalement on parle bien de l'intersection de 2 droites :
D1 = {iaz lorsque a parcourt R}
D2 = {kz+ (1-k) lorsque k parcourt R}
Et pour autant que je sache, 2 droites ont au plus 1 point d'inersection.

Je précise à nouveau mon raisonnement, qui utilise les étapes suivantes :
1) il existe k réel tel que (z'-1)/z-1) = k
2) de 1) je déduis que z'=kz+(1-k)
3) par hypothèse, z'/z = est imaginaire pur,
4) de 3) je déduis que la partie réelle de z'/z = k+(1-k)/z est nulle.
5) j'exprime cette partie réelle, je l'égale à 0, j'isole k, ça me donne k=Re(z)/(|z|²-Re(z))
5) je reporte ce k dans z'=kz+(1-k), ça me donne z', et je dois encore finir ce calcul

Bon, on s'y remet, et d'abord on corrige une faute de signe dans le calcul de k :
Re(k+(1-k)/z) = Re(k+(1-k).z_barre/|z|²) = 0
k+(1-k).Re(z)/|z|²=0      (car Re(z_barre)=Re(z))
k=-Re(z)/(|z|²-Re(z))     (la faute de signe était là)
Et on réinjecte ce k dans l'expression de z':
z'= kz+(1-k)
= -z.Re(z)/(|z|²-Re(z)) + (1-(-Re(z)/(|z|²-Re(z))))
= -z.Re(z)/(|z|²-Re(z)) + 1+Re(z)/(|z|²-Re(z))
= (1/(|z|²-Re(z))).(-zRe(z)+|z|²-Re(z)+Re(z))
Ce qui se simplifie, et finalement :
z'=(|z|²-zRe(z))/(|z|²-Re(z))
On y est presque, reste à retrouver entièrement la formule de l'énoncé :
z'=(1/2)(│z│²-z²)/(│z│²-Re(z))
Pour cela, en comparant les deux expressions de z', il faut vérifier que :
|z|²-zRe(z) = (1/2)(|z|²-z²)
En fait, c'est vrai pour tout z. Posonz z=a+ib, il vient :
|z|²-zRe(z) = a²+b²-(a+ib)a = a²+b²-a²-iab = b²-iab
(1/2)(|z|²-z²) = (1/2)(a²+b²-(a²+2iab-b²)) = (1/2)(2b²-2iab) = b²-iab
C'est fini, et on conclut donc :
pour un z donné en dehors du cercle, les deux conditions :
i) z'/z est un imaginaire pur
ii) (z'-1)/(z-1) est un réel
déterminent un z' unique, et l'expression de ce z' est :
z'=(1/2)(│z│²-z²)/(│z│²-Re(z))
Ouf...

merci beaucoup pour tout le monde d'avoir consacrée je le vois bien pas mal de votre temps. Tout compte fait ce n'était pas si compliqué!

Non, mais ce n'était pas si simple non plus