Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau autre
Partager :

Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace

Posté par
H_aldnoer 07-06-08 à 23:57

Bonsoir,

un petit problème :

Soit \Large{(X_1,\cdots ,X_n)} des variables indépendantes et identiquement distribuées de loi de Laplace.
Pour tout \Large{n\ge 1}, on pose \Large{U_n=min_{1\le k\le n} X_k} et \Large{V_n=max_{1\le k\le n} X_k}

Questions
1) Trouver la loi de \Large{-X_1} et en déduire que \Large{U_n} suit la même loi que \Large{-V_n}.

2) Pour tout \Large{x\in\mathbb{R}}, calculer \Large{P(U_n>x)} et \Large{P(V_n\le x)}

On s'intéresse au comportement asymptotique de la variable normalisé \Large{W_n=\frac{V_n}{ln(n)}.

a/ On suppose tout d'abord que \Large{\epsilon>0}.
Montrer que, \Large{\forall n\ge 3}, \Large{P(W_n>1+\epsilon)=1-(1-\frac{1}{2n^{1+\epsilon}})^n.
En déduire que \Large{P(W_n>1+\epsilon) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

b/ On suppose maintenant que \Large{0<\epsilon\le 1}.
Montrer que, \Large{\forall n\ge 3}, \Large{P(W_n<1-\epsilon)=(1-\frac{1}{2n^{1-\epsilon}})^n.
En déduire que \Large{P(W_n<1-\epsilon) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

c/ On suppose finalement que \Large{\epsilon >1}.
Montrer que, \Large{\forall n\ge 3}, \Large{P(W_n<1-\epsilon)=\frac{n^{1-\epsilon}}{2^n}.
En déduire que \Large{P(W_n<1-\epsilon) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Déduire de a/,b/ et c/ que \Large{W_n} converge en probabilité vers 1.

Réponses
1) Pour mémoire, voici la densité ainsi que la fonction de répartition d'une v.a suivant une loi de Laplace Loi de Laplace.
J'ai \Large{F_{-X_1}(x)=P(-X_1\le x)=P(X_1\ge -x)=1-P(X_1\le -x)=1-F_{X_1}(-x)

Je trouve \Large{F_{-X_1}(x)=\{\frac{1}{2}exp(-x)\,si\,x\le%200\\1-\frac{exp(x)}{2}\,si\,x\ge%200}.

On a donc \Large{F_{-X_1}(x)=F_{X_1}(-x) mais cela signifie-t-il que \Large{-X_1 suit "moins la loi de Laplace" ? Je ne vois pas les déductions que l'on doit tirer concernant \Large{U_n} et \Large{-V_n}.

2) J'ai \Large{P(U_n>x)=\Bigprod_{k=1}^nP(X_k>x)=\Bigprod_{k=1}^n(1-F_X(x))}=\{(1-\frac{1}{2}exp(x))^n\,si\,x\le%200\\(\frac{exp(-x)}{2})^n\,si\,x\ge%200

Puis \Large{P(V_n\le x)=\Bigprod_{k=1}^nP(X_k\le x)=\Bigprod_{k=1}^nF_X(x)=\{(\frac{1}{2}exp(x))^n\,si\,x\le%200\\(1-\frac{exp(-x)}{2})^n\,si\,x\ge%200

a/ Nous cherchons \Large{P(W_n>1+\epsilon)=1-P(V_n\le (1+\epsilon)ln(n)).
Or dans ce cas, \Large{\epsilon>0} implique que \Large{(1+\epsilon)ln(n)>0}. On utilise la question précédente et l'on trouve bien \Large{P(W_n>1+\epsilon)=1-(1-\frac{1}{2n^{1+\epsilon}})^n. Nous faisons un calcul de limite ensuite : \Large{\frac{1}{2n^{1+\epsilon}} tend vers 0 à l'infini donc Ok.

La suite de mes réponses demain!
Quelqu'un peut-il voir pour la première question ?
D'avance merci.

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 08:32

bonjour,
je ne suis pas d'accord avec tes expressions de F-X(x)
je trouve pour
x<0  ex/2
x0 1-e-x/2

tu dois vérifier que la fonction de répartition tend vers 0 quand x->-oo et qu'elle tend vers 1 quand x->  +oo ce n'est pas le cas avec les expressions que tu donnes

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 10:38

2a) c'est d'accord

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 12:25

Bonjour veleda.
A propos de la première question je trouve \Large{F_{-X}(x)=1-F_X(-x)}.

Posons \Large{u=-x} et cherchons \Large{F_X(u)}.
si \Large{x\ge 0 alors \Large{u\le 0 donc \Large{F_X(u)=\frac{1}{2}exp(u)} d'ou \Large{F_{-X}(x)=1-F_X(u)=1-\frac{1}{2}exp(u)=1-\frac{1}{2}exp(-x)}

si \Large{x\le 0 alors \Large{u \ge 0 donc \Large{F_X(u)=1-\frac{1}{2}exp(-u)} d'ou \Large{F_{-X}(x)=1-F_X(u)=\frac{1}{2}exp(-u)=\frac{1}{2}exp(x)}

Finalement \Large{F_{-X}(x)=F_X(x).
Donc \Large{-X} a même loi que \Large{X}.

Citation :
tu dois vérifier que la fonction de répartition tend vers 0 quand x->-oo et qu'elle tend vers 1 quand x->  +oo ce n'est pas le cas avec les expressions que tu donnes

- Pourquoi cela ?
C'est une vérification car c'est une propriété des fonctions de répartitions, n'est-ce pas ?

- Pour la suite, je dis que \Large{V_n} suit une loi de Laplace. On déduit de ce qui précède que \Large{-V_n} suit aussi une loi de Laplace. Or \Large{-V_n=U_n}, donc \Large{U_n} à même loi que \Large{-V_n}.

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 12:37

cependant ce n'est pas parce que 1/np->0 quand n->+oo que (1-/np)n->1
par exemple pour p=1 la limite est 1/e ,dans le cas de l'exercice ça marche mais il faut le rédiger correctement

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 12:40

2)
b/ Nous cherchons \Large{P(W_n<1-\epsilon). Nous sommes dans le cas de variable aléatoire continue, donc j'ai envie de dire que \Large{P(W_n<1-\epsilon)=P(W_n\le 1-\epsilon).
Je poursuis ainsi :
\Large{P(W_n\le 1-\epsilon)=P(V_n\le (1-\epsilon)ln(n)).
Dans ce cas \Large{0%3C\epsilon\le%201} ce qui implique que \Large{0\le (1-\epsilon) et donc que \Large{0\le (1-\epsilon)ln(n).
D'ou \Large{P(W_n\le 1-\epsilon)=(1-\frac{exp(-(1-\epsilon)ln(n))}{2})^n=(1-\frac{1}{2n^{1-\epsilon}})^n.

Or \Large{P(W_n<1-\epsilon)=P(W_n\le 1-\epsilon) donc \Large{P(W_n<1-\epsilon)=(1-\frac{1}{2n^{1-\epsilon}})^n.

Y'a-t-il une erreur d'énoncé ?
Je trouve que \Large{\lim_{n\to +\infty} P(W_n<1-\epsilon)=1 !

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 12:42

je vois ton post à l'instant :
c'est par sécurité qu'il faut vérifier les limites en -oo et en+oo de la fonction de répartition pour voir s'il n'y a pas une erreur de calcul
donc tu trouves bien la même chose que moi pour la fonction de répartition

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 12:43

veleda pour ton post de 12:37, quel est la fonction de répartition en jeu ? \Large{F_{-X}} ?
Pourquoi faisons nous ces calculs de limite ?
Je ne saisi pas bien.

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 12:43

Citation :
je vois ton post à l'instant :
c'est par sécurité qu'il faut vérifier les limites en -oo et en+oo de la fonction de répartition pour voir s'il n'y a pas une erreur de calcul
donc tu trouves bien la même chose que moi pour la fonction de répartition

Ok.

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 12:44

Que penses-tu de ma réponse pour montrer que \Large{U_n} suit la même loi que \Large{-V_n} dans mon post de 12:25 ?

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 12:59

soit z=(1-1/(2n1-))n
lnz-n  donc z->0 suuf erreur de ma part

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 13:23

Une petite question sur ton dernier post :
\Large{ln(U_n) \longrightarrow_{n\to +\infty} -\infty} implique ou équivaut à \Large{U_n \longrightarrow_{n\to +\infty} 0} ?

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 15:25

réponse à ton post de 13h23oui pour l'équivalence si un>0 ,si un<0on ne peut pas prendre le ln
je reviendrai ce soir,j'ai de la route à faire pour rentrer chez moi

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 18:14

Salut H_aldnoer et Veleda,
pour la 2) b) je suis ok avec toi sauf pour la limite,
tu met ton truc sous forme exponetielle...a^b=exp(b.ln(a))
et tu fais un DL de ln(1-(1/(2n^(1-epsilon))))
et finalement tu as un truc du genre exp(-(n^-epsilon)/2) je crois(sauf erreur de calcul) qui tend bien vers 0 qd n tend vers +oo car 0<epsilon<=1.


a+

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 21:52

bonsoir H et R
on est d'accord il n'y a pas d'erreur d'énoncé
>>H j'avais justement dans mon post de 12h37 attiré ton attention sur ce genre de limite
pour  p>0  
quand n->+oo
lim(1-1/np)n=1 si p>1
                                  =1/e si p=1
                                   =0 si0<p<1
sauf étourderie de ma part

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 22:19

Bonsoir à vous deux,

j'ai refait mon calcul et j'obtiens ceci :

\Large{(1-\frac{1}{2n^{1-\epsilon}})^n = exp(n ln(1-\frac{1}{2n^{1-\epsilon}} ))} = exp(-\frac{1}{2n^{-\epsilon}}+n o(-\frac{1}{2n^{1-\epsilon}})

Lorsque \Large{n} tend vers \Large{+\infty} on a \Large{-\frac{1}{2n^{-\epsilon}}} qui tend vers \Large{-\infty} mais pourquoi la quantité \Large{n o(-\frac{1}{2n^{1-\epsilon}}) tend vers 0 ?

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 22:28

Ensuite je calcule \Large{P(W_n<1-\epsilon)=P(V_n<(1-\epsilon)ln(n))}.
Nous avons dans ce cas \Large{(1-\epsilon)ln(n)\le 0} donc \Large{P(V_n<(1-\epsilon)ln(n))=(\frac{1}{2}exp((1-\epsilon)ln(n)))^n=(\frac{n^{1-\epsilon}}{2}})^n qui est différent de \Large{\frac{n^{1-\epsilon}}{2^n}}, erreur d'énoncé ?!?

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 23:35

re,
je comprend pas ton DL...
ln(1-x) est équivalent à -x...
donc n.ln(1-x) équivalent à -n.x...(si tu le vois pas comme ça,je me souviens que Kaiser me disait que le petit o,tu peux le remplacer par une suite qui tend vers 0...on voit mieux ce qui se passe comme ça).

pour la suite,je vois pas trop...

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 23:43

Euh en fait j'ai écris que \Large{ln(1-u)=-u+o(u)} cad le \Large{DL_1(0)}, non ?

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 23:46

L'équivalence vient d'ici d'ailleurs il me semble car \Large{\frac{ln(1-u)}{-u}=1-\frac{o(u)}{u} qui tend bien vers 1 car \Large{\frac{o(u)}{u} tend vers 0.

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 23:49

ah oué d'accord...alors essaye de transforméer  le petit o peut-etre...
o(-1/...)=o(1/n) non?

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 08-06-08 à 23:59

Ah oui, je n'y avais pas pensé!
Donc il faut montrer que \Large{o(-\frac{1}{2n^{1-\epsilon}})=o(\frac{1}{n}). Déjà, je pense que \Large{o(-\frac{1}{2n^{1-\epsilon}})=o(\frac{1}{n^{1-\epsilon}}).
Mais comment montre-t-on que \Large{o(\frac{1}{n^{1-\epsilon}})=o(\frac{1}{n}) ?

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 00:00

le espilon il est dans quoi?
toujours entre 0 et 1 non?

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 00:06

Oui, nous sommes dans le cas b/ i.e. \Large{0<\epsilon \le 1 donc \Large{1-\epsilon \ge 0. Pourquoi ?

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 00:13

bah le epsilon au mieux il vaut 1...intuitivement je dirais que o(1/n^(1-epsilon))=o(1/n)...

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 09:55

bonjour,
connexion capricieuse hier soir
ln(1-1/2n(1-))=
-n[1/2n(1-)+o(1/2n(1-))]=
-n/2+o(n/2)
ce qui se traduit par
-n/2(1+n)avec limn=0 quand n->+oo
il n'y a rien a essayer de démontrer sur le o

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 10:06

Bonjour veleda, merci.
Pour le c/, je pense qu'il y a une erreur d'énoncé voir mon post du 08/06/2008 à 22:28.

Non ?

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 10:57

j'ai refait le calcul et je trouve la même chose que toi,comme (1-)lnn<0 il faut prendre l'autre expression de la fonction de répartition donc ce n'est pas là que l'on fait une erreur donc ce doit être le texte??

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 13:49

Je pense que oui!
As-tu refait ce calcul ?
\Large{P(V_n\le%20x)=\Bigprod_{k=1}^nP(X_k\le%20x)=\Bigprod_{k=1}^nF_X(x)=\{(\frac{1}{2}exp(x))^n\,si\,x\le%200\\(1-\frac{exp(-x)}{2})^n\,si\,x\ge%200

Trouves-tu pareil ?
Je ne pense pas m'être trompé ici.

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 14:18

je trouve pareil que toi pour le c)

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 14:22

Ok. Tu as fait le calcul de \Large{P(V_n\le%20x)} ?

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 14:28

oui, je trouve bien que ça fait le produit des fonctions de répartitions donc ça me semble correct.

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 17:40

Et nous somme bien d'accord que \Large{(\frac{n^{1-\epsilon}}{2}})^n} tend vers \Large{+\infty} ?

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 21:16

on est bien dans c) 1-<0 ? donc dans ton rapport les n sont au dénominateur avec une puissance>0 et le rapport tend vers 0 non?

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 21:22

Pour la toute dernière question :
\Large{\mathbb{P}(|W_n-1|\ge \epsilon)=\mathbb{P}(W_n\ge 1+\epsilon)+\mathbb{P}(W_n\le 1-\epsilon)=\mathbb{P}(W_n> 1+\epsilon)+\mathbb{P}(W_n< 1-\epsilon)

Selon a/,b/, et c/ :
si \Large{0%3C\epsilon\le%201} alors \Large{\mathbb{P}(W_n%3C1-\epsilon) tend vers 0 de même que \Large{\mathbb{P}(W_n> 1+\epsilon) mézalor \Large{\mathbb{P}(|W_n-1|\ge \epsilon) tend vers 0.
si \Large{\epsilon>1} alors \Large{\mathbb{P}(W_n%3C1-\epsilon) tend vers 0, modulo l'erreur éventuel de l'énoncé, de même que \Large{\mathbb{P}(W_n> 1+\epsilon) mézalor \Large{\mathbb{P}(|W_n-1|\ge \epsilon) tend vers 0.

Par défintion, puisque dans tous les cas \Large{\lim_{n\to +\infty} \mathbb{P}(|W_n-1|\ge \epsilon)=0} \Large{W_n converge en probabilité vers 1.

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 21:25

Pour ton message de 21:16 : Oui c'est vrai!

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 21:36

ce n'est pas ce que tu avais écrit
c'est quand l'épreuve de proba?

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 21:41

Citation :
ce n'est pas ce que tu avais écrit

Comment ça ?
Pour ton message de 21:16 ?

L'épreuve est dans deux semaines!

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 21:45

Pour ton message de 21:16, je voulais dire que je suis d'accord avec toi, j'ai écris une bêtise.

Posté par
veledare : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 22:45

encore deux semaines à réviser les probas ,bon courage

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 09-06-08 à 22:50

Merci veleda!
J'ai encore du mal à comprendre pourquoi \Large{U_n} à même loi que \Large{-V_n}

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 10-06-08 à 12:29

pourquoi tu as écrit que -Vn=Un...?

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 10-06-08 à 15:38

Oui c'est faux!
Je n'arrive pas à résoudre cette question.
Une idée ?

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 10-06-08 à 16:38

non je vois pas le "en déduire"!!

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 11-06-08 à 21:11

un petit up...

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 12-06-08 à 00:24

Bonsoir,

je n'ai toujours rien trouver pour ma part.
Sommes-nous d'accord que \Large{X} et \Large{-X} ont même loi ?
Si oui, je ne trouve pas le lien logique pour montrer que \Large{U_n} et \Large{-V_n} ont même loi.

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 12-06-08 à 10:56

pareil que H_aldnoer!

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 13-06-08 à 16:16

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Posté par
H_aldnoerre : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 13-06-08 à 22:55

Quelqu'un peut-il nous aider ?

Posté par
robby3re : Petit problème de probabilité autour de la loi de Laplace 15-06-08 à 20:26

toujours personne?

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !