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Point fixe espace complet

Posté par
Prototipe19 04-12-19 à 12:28

Bonjour , besoin d'un peu d'aide silvouplait

Soit (E,d) un espace métrique compact et f:E->E telle que pour tous x,y éléments de E (xy=>d(f(x),f(y)<d(x,y)

Montrer que f admet un unique point fixe . (Considérer inf(d(x,f(x))  xE

Posté par
luzakre : Point fixe espace complet 04-12-19 à 14:05

Bonjour !
Quels sont tes essais ? As-tu montré l'existence de la borne inférieure ?

Si la borne inférieure est atteinte en z et z\neq f(z)=u tu considères \mathrm{d}(u,f(u)) pour avoir une contradiction.

L'unicité est évidente.

Posté par
Prototipe19re : Point fixe espace complet 04-12-19 à 19:42

Bonsoir . Ok je m'y met

Posté par
Prototipe19re : Point fixe espace complet 04-12-19 à 21:24

J'ai juste un petit souci , sinon au loin j'ai une idée de où se trouve la contradiction pour l'existence .

Ce pendant je peine à montrer la continuité de f:E->E, (x,y)d(x,y) j'en ai besoin étant donné E compact , il suffirait juste la continuité de f , pour que les bornes soient atteintes et de garantir l'existence de linf

Dans un autre exercice , j'avais déjà montrer que

L'application ExE->E (x,y)d(x,y) est continue  j'ai comme l'impression que je peux l'utiliser mais je vois pas trop comment

Posté par
Prototipe19re : Point fixe espace complet 04-12-19 à 21:26

Pardon plutôt

f:E->E ,xd(x,f(x))

Posté par
luzakre : Point fixe espace complet 04-12-19 à 22:53

Soit \varepsilon>0,\;(x,y)\in E^2 tels que \mathrm{d}(x,y).
Si x=y on a \mathrm{d}(f(x),f(y))=0<\varepsilon
Si x\neq y on a \mathrm{d}(f(x),f(y))<\mathrm{d}(x,y)<\varepsilon.

Oui, (x,y)\mapsto\mathrm{d}(x,y) est continue.
Et x\mapsto\mathrm{d}(x,f(x)) est composée de fonctions continues.

Posté par
Prototipe19re : Point fixe espace complet 04-12-19 à 23:08

Ah ok merci pour la suite c'est bon , d'où l'existence d'un Xo élément de E tel que


f(x_o)=d(x_o,f(x_o))=inf f(x)

La contradiction je l'ai en supposant f(x_o)\neq x_0  .... j'ai compris merci monsieur .

Posté par
Prototipe19re : Point fixe espace complet 04-12-19 à 23:12

d(x,y)<\varepsilon  vous l'avez en posant \eta = \varepsilon
N'est ce pas juste pour en être sûr

Posté par
luzakre : Point fixe espace complet 05-12-19 à 08:10

Nommer \eta un truc qui a déjà un nom, je ne vois pas l'intérêt !


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