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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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point interne

Posté par
Nyadis
17-11-20 à 04:46

Bonjour

Soit X un e.v.t
Soit À une partie convexe de X

on veut montrer que si A-a est absorbant alors a est un point interieur à  A.
On rappel que une partie B est absorbante si ∀x∈X , ∃α>0 / |λ|>α → x∈λB
Et un point est interieur à B si B contient un voisinage de ce point.

merci

Posté par
etniopal
re : point interne 17-11-20 à 08:01

A - a   ou  A \ {a}  ?

Posté par
jsvdb
re : point interne 17-11-20 à 10:06

Salut !
Cet énoncé est faux :
dans l'evt \R avec sa topologie usuelle, la partie ]-1,1] est convexe, la partie ]-1,1[ est absorbante et pourtant 1 n'est pas un point intérieur à ]-1,1]

Par ailleurs, est-ce-que tu as compris cet exercice : convexe équilibré et absorbant ?

Posté par
GBZM
re : point interne 17-11-20 à 10:22

Bonjour,

Je pense qu'il faut bien lire ce qui est écrit : A-a, ce n'est pas A\setminus \{a\}, c'est \{x-a\mid x\in A\}.
La réponse de jsvdb ne tient pas.

Posté par
jsvdb
re : point interne 17-11-20 à 12:01

Effectivement, c'est le translaté, sinon ça veut rien dire.
L'énoncé est clair et ma réponse est débile.

Posté par
etniopal
re : point interne 17-11-20 à 12:14

     Il me semble qu'il s'agit de montrer que si  C  est un convexe  d'un evtlc E ,  C est absorbant SSI   C  est voisinage de 0  .
    Or si  0 n' est  pas dans l' intérieur  de C   il existe  f   E'  tel que C soit contenu dans [f 0 ] .

Posté par
Nyadis
re : point interne 19-11-20 à 07:56

Tout a fais. et je pense que un sens est trivial. si C est voisinage de 0 alors il est absorbant.
si on suppose par contre C absorbant et C convexe ...........

Posté par
Nyadis
re : point interne 19-11-20 à 07:57

Tout a fais. et je pense que un sens est trivial. si C est voisinage de 0 alors il est absorbant.
si on suppose par contre C absorbant et C convexe ...........

Posté par
Nyadis
re : point interne 19-11-20 à 08:03


etniopal @ 17-11-2020 à 12:14

     Il me semble qu'il s'agit de montrer que si  C  est un convexe  d'un evtlc E ,  C est absorbant SSI   C  est voisinage de 0  .
    Or si  0 n' est  pas dans l' intérieur  de C   il existe  f   E'  tel que C soit contenu dans [f 0 ] .


merci mais je ne comprend pas votre defition de 0 n'appartient pas a l'interieur de C

Posté par
etniopal
re : point interne 19-11-20 à 08:37

     Il ne s'agit pas de "  defition de 0  " mais de se ramener au cas où le point a de ton énoncé est l'origine du  -evt  E  dans lequel  on travaille .

  Si C est convexe C - a l'est et  a  est dans l'intérieur de C  ssi 0 est dans l'intérieur de   C - a.
  

Posté par
jsvdb
re : point interne 19-11-20 à 10:57

Il y a une chose qui serait intéressante avant tout, c'est de pouvoir caractériser ce qu'est un voisinage d'un point dans un evt.
Or on sait, de par la définition d'un evt E, qu'une partie V de E est un voisinage d'un point x si et seulement si V - x est un voisinage de 0 (cela découle de la continuité, exigée, de l'addition dans E)
Donc toute la question est : comment caractériser les voisinages de 0 dans un evt ?

Si on ne répond pas à cette question, l'exercice est insoluble car on parle de voisinage, d'intérieur et d'ouvert dans un evt sans en avoir de caractérisation.

On dispose de la proposition suivante :

Dans un espace vectoriel topologique E sur un un corps valué non discret K, il existe un système fondamental \mathfrak V(0) de voisinages fermés de 0, tel que :

1- Tout ensemble V \in \mathfrak V(0) est équilibré et absorbant.

2- Pour tout V \in \mathfrak V(0) \text{ et tout }\lambda \in K-\{0\}, \lambda V\in \mathfrak V(0)

3- Pour tout V \in \mathfrak V(0), il existe W \in \mathfrak V(0) tel que W+W\subset \mathfrak V(0)

- L'ensemble des voisinages fermés \mathfrak V(x) d'un point x \in E sont alors les \mathfrak V(0)+x = \{V+x~/~V\in \mathfrak V(0)\}

Réciproquement, soit E un K-ev, et soit \mathfrak V une base de filtre sur E satisfaisant aux conditions 1- 2- et 3-.
Alors il existe une unique topologie sur E, compatible avec la structure d'espace vectoriel de E, et pour laquelle \mathfrak V(0) soit un système fondamental de voisinage de 0.

Cette topologie est définie de la façon suivante : \tau = \{O \subset E~/~\forall y \in O,O\in \mathfrak V(y)\}

Autrement dit, les ouverts de E sont les parties de E qui sont voisinages de chacun de leurs points.


Cette proposition est (presque) l'objet du fil convexe équilibré et absorbant . Donc si ce fil n'est pas compris, on ne pourra pas résoudre l'exercice posé ici.

---------------------------

Donc maintenant, on peut commencer à résoudre l'exercice, en passant par cet énoncé :

Soit E un evt et A une partie convexe de E.
Montrer que si A est absorbante alors 0 est un point intérieur à  A.
Autrement dit, montrer qu'il existe V \in \mathfrak V(0), tel que V\subset A

On va donc se servir de la proposition ci-dessus.

La corollaire est alors immédiat : si A-a est convexe absorbant, alors 0 est intérieur à A-a, donc a est intérieur à A.

Posté par
jsvdb
re : point interne 19-11-20 à 11:23

Il y a juste un truc qui me chagrine. J'y pense subitement :
Un espace vectoriel E muni de la topologie grossière (Tg) est un evt et même un evt localement convexe.
On norme cet espace.
Alors la boule unité B est un convexe absorbant de E.
Sauf que dans (E,Tg), B est toujours un convexe absorbant, mais n'est certainement pas un voisinage de 0 (sauf si dim E = 0)
Donc, à mon avis, l'énoncé doit être modifié en : soit E un evt séparé.
Rappel :
un evt E est séparé, si
- pour tout x \in E, il existe un voisinage de 0 qui ne rencontre pas x. ou encore
- {0} est une partie fermée de E. ou encore
- L'intersection de tous les voisinages fermés de E est réduite à {0}

Posté par
etniopal
re : point interne 19-11-20 à 17:28

De bBourbaki  (mot à mot)

       1.Dans un un evt réel E  deux parties non vides  A et B sont dites
                 ... séparées par un hyperplan fermé H  si A est contenu dans un des demi-espaces fermés déterminés par H et B dans l'autre  demi-espace  fermé
.                ...  strictement séparées par un hyperplan fermé H  si A est contenu dans un des demi-espaces ouverts déterminés par H et B dans l'autre  demi-espace  ouvert

       2.Dans un un evt réel E , soient A un ensemble ouvert convexe et B un ensemble convexe non vide ne rencontrant pas A ; il existe alors un hyperplan fermé séparant A et B .
-------------------------------------

Dans l'exo :   Soient  C un  convexe non vide et  U son l'intérieur   .
  
              Si U est non vide il est convexe  et  {0}   U = .
  Il existe donc un hyperplan fermé H  qui sépare  U et {0} .
Soit F le demi-espace fermé de bord H  qui contient U .
F contient donc l'adhérence U' de U et comme C est convexe d'intérieur non vise    , U ' contient C  et on a : F C .
C ne peut donc pas absorber E \ F .
Ceci prouve dans ce cas  que si C est absorbant ,   C  est un voisinage de 0 .

Il reste à voir le cas où U est vide .

Posté par
etniopal
re : point interne 19-11-20 à 17:34

**remplacer
  Si U est non vide il est convexe  et  {0}   U =  .
  Il existe donc un hyperplan fermé H  qui sépare  U et {0}
par  
Supposons  U   non vide  (  il est alors convexe ) et      0   U  .
Il existe alors un hyperplan fermé H  qui sépare  U et {0}

Posté par
jsvdb
re : point interne 19-11-20 à 20:48

C'est beaucoup plus simple que cela : si une partie P d'un espace vectoriel E est absorbante, alors pour tout x de E, il existe un t > 0, tel que le segment [-tx,tx] soit inclus dans P.
Il ne saurait donc exister d'hyperplan vectoriel H, séparant E en deux demi-espaces et tel que P soit incluse dans l'un des deux.
Mais cela ne démontre pas que 0 est intérieur à P, même si P est convexe.

Posté par
jsvdb
re : point interne 20-11-20 à 09:16

Dans la mesure où j'ai donné un contre-exemple, est-ce qu'il serait possible de donner un énoncé correct ? Merci beaucoup

Posté par
malou Webmaster
re : point interne 20-11-20 à 12:03

Bonjour à tous, désolée de vous interrompre dans votre élan

@ Nyadis : le multi-compte est strictement interdit sur le forum :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q29 - Avoir plusieurs comptes est-il autorisé ?



Merci donc de régulariser ta situation en supprimant le compte Houston0091 (la fonction mot de passe oublié existe).

Une fois que c'est fait, contacte moi ( [lien]) ou gbm ( [lien]) et on lèvera ton exclusion sur ton compte actuel.

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