j ai oublie une question
deteerminer p , q , r pour que les zeos de p soit a^2 , b^2 et c^2

Bonjour,

on a donc X^3+pX^2+qX+r=(X-a)(X-b)(X-c).

Soit -(a+b+c)=p
(ab+ac+bc)=q
-abc=r


(ab+bc+ca)²=q²=((ab+bc)+ca)²=(ab)²+(bc)²+2ab²c+(ca)²+2ca²b+2c²ab

=(ab)²+(ca)²+(bc)²+2abc(a+b+c)=(ab)²+(ca)²+(bc)²+2pr

Je mets ce que je trouve pour la 1) pour voir si on est d'accord:

(a+b+c)²=p²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) d'ou

a²+b²+c²=p²-2q.

oui je trouve en effets cela . cependant je bloque encore sur les question suivantes

C'est laquelle qui vient juste apres celle avec les zéros ou l'autre?

la question que je n arrive pas est celle ou l on doit determiner p , q , r pour que les zeros de p soit a^2 , b^2 et c^2 et on l on doit verifier que P(X^2)=-P(X)*P(-X)
normalement je dois en plus trouver aussi deux de ces  polynomes a coefficient complexe

Je comprend pas trop la question en fait vu qu'on a fixe que les zeros sont a,b et c tu peux m'expliquer comment tu comprends la question?

ba je pense que l on doit desormais fixer que les zero sont a^2 , b^2 , c^2

Oui mais on a un polynome ou on a fixé p,q et r et on dit que ses zéros sont a,b et c. Je sais pas si c'est moi mais je vois pas

heu je pense que p r q ne sont pas fixer
On dit que desormais P(X) a pour zeros a^2 , b^2 , c^2
on essaye alors de trouver les valeur de p q r
je pense que l on doit se servir des question precedentes
car on connait a^2 + b^2 + c^2 et  (bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2 en fonction de   p q r . en ecrivant que P(X)=(X-a^2)(X-b^2)(X-c^2) on peut etre trouver une relation non?

bonsoir,
je comprends aussi qu'il y a deux polynomes
si a²,b²,c²,sont les zéros de P*  P*(X)=X³-(a²+b²+c²)X²+(a²b²+b²c²+c²a²)X-(a²b²c²)

P(X)P(-X)=-X⁶+(p²-2q)X⁴-(q²-2pr)X²+r²
donc -P(X)P(-X)=P*(X²)  (en utilisant les valeurs trouvées avant)

enfin ce n'est pas clair où est posée la question oubliée?avant le 3) ou aprés
de plus si a,b,c sont donnés il n'y a qu'un polynome, de quelle liste s'agit-il?
bon courage

bonsoir je remet exactement l enonce pour etre plus clair
Soit P(X)=X^3 + pX^2 + qX + r ou les zeros sont a,b,c

1) calculer a^2 + b^2 + c^2  en fonction de p q r
2)calculer (bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2 en fonction de p q r
3)determiner p , q , r pour que les zeros de P soit a^2 , b^2 et c^2
en deduire la liste des polynomes P et montrer qu il verifie P(X^2)=-P(X)P(-X)

bonjour,
il me semble que  P* répond à la 3) mais je ne comprends pas cette histoire de liste désolée,cauchy repassera peut être

Salut veleda,

en fait j'ai toujours autant de mal à comprendre l'énoncé je capte toujours pas la 3)

bonjour Cauchy
je ne comprends pas non plus ,désolée pour benoist

Ok peut etre pourra-t-il nous éclairer

J ai envoyer un mail a mon proffesseur pour voir si lui aussi a le meme probleme je vous enverais sa reponse

Ok merci

bonjour je n ai toujour pas recu de mail de mon proff ceci dit apres mur reflexion je pense que l on doit ecrire que si les zeros de P sont a^2 , b^2 et c^2 alors
P(X) = (X-a²)(X-b²)(X-c²) = X3 - (a²+b²+c²)X² + [(ab)²+(bc)²+(ca)²]X - (abc)²
et l on identifie identifies à l'aide des résultats précédents

cependant il reste toujours le probleme ou lon doit donner la liste de ces polynome P

cela implique que comme la dit veleda a²+b²+c² sont les zeros d un polynome P* differant de P
ainsi on peut verifier -P(X)P(-X)=P*(X²)
cependant je ne vois toujours pas comment donner la liste des polynome P

bonjour . Je pense avoir cette fois trouver
si a^2 , b^2 et c^2  sont les zeros de P
alors a^2 = b^2 = c^2 =0 ou =1

on ecrit ensuite P(X) = (X-a²)(X-b²)(X-c²) = X3 - (a²+b²+c²)X² + [(ab)²+(bc)²+(ca)²]X - (abc)²

et la les deux polynomes sont egaux et on a trouver les valeur de p q r
on trouve ensuite la liste en prennat les differante velaur de a b et c CAD 1 et 0
qu est ce que vous en pensez? Je dois ensuite trouver deux polynome parmis la liste qui ne sont pas a coefficient tous reel comment faire car je ne trouve que des polynome a coefficient reel?

bonsoir
faut-il comprendre que les zéros de P sont a,b,c mais aussi a²,b²,c² ce qui impose
(a²=a,b²=b,c²=c)  (1) ou(a²=b,b²=c,c²=a)(2) ou (3)(a²=c,b²=a,c²=b) qui est la même condition que la précédente(2)
(1)=>(a=1,a=0;b=1,b=0;c=1,c=0)
(2)=>a⁴=b²=c donc a⁸=c²=a  soit a=0 ou a⁷=1 ce qui donne a=exp(2ik/7) d'où b et c

bonjour.je me suis rendu compte que cauchy et moi avions fait une erreur bete

a²+b²+c²=-p²+2q et non a²+b²+c²=p²-2q
je reprend alors la question: on sait P(X)=X^3 + pX^2 + qX + r
on sait ensuite que si a²,b²,c² sont zeros
alors P(X) = (X-a²)(X-b²)(X-c²) = X3 - (a²+b²+c²)X² + [(ab)²+(bc)²+(ca)²]X - (abc)²
il faut alors que :
-p = p²-2q
q = q²-2pr
-r = r²
La dernière équation de ce système donne soit r = 0 , soit r = -1.
ce qui conduit à l'équation : (p^4)+2(p^3)-(p^2)+6p = 0
D'où quatre possibilités :
( p = 0 ; q = 0 ; r = -1 )
( p = -3 ; q = 3 ; r = -1 )
( p = (1/2)(1+iV(7)) ; q = (1/2)(-1+iV(7)) ; r = -1 )
( p = (1/2)(1-iV(7)) ; q = (1/2)(-1-iV(7)) ; r = -1 )
Avec V(7) = racine carrée de 7.
auxquelles s'ajoutent celle correspondant au cas r = 0 :
-p = p²-2q
q = q²
donnant les 4 possibilités :
( p = 0 ; q = 0 ; r = 0)
( p = -1 ; q = 0 ; r = 0)
( p = 1 ; q = 1 ; r = 0)
( p = -2 ; q = 1 ; r = 0)
et on trouve comme polynome a coefficient complexe
F(X) = (X^3)-(1/2)(1+iV(7))(X^2)+ (1/2)(-1+iV(7))X -1
G(X) = (X^3)-(1/2)(1-iV(7))(X^2)+ (1/2)(-1-iV(7))X -1

etes vous d accord
voila je pense que cette fois ci le probleme est clos.Je vous remercie pour votre aide (faite moi signe si il y a une erreur.