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Niveau Licence Maths 1e ann
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Polynome 2nd degré complexe à coefficient complexe

Posté par
Gadved
20-09-10 à 12:16

Bonjour à tous !

Tout d'abord voici le calcul sur lequel je bloque depuis quelques temps :
Résolvez dans C l'équation suivante, d'inconnue z :
z²-iz+(1-3i)=0
Les solutions finals sont 1+2i et -1-i

Mon problème viens du fait que je ne sais pas trop comment commencer.
J'ai tenté de le calculer comme un polynôme de 2nd degré, en cherchant delta
J'obtiens delta = -3+12i
Mes racines seraient alors : [i(+/-)(-3+12i)]/2
Ce qui ne correspond pas au résultat annoncé.

Posté par
lafol Moderateur
re : Polynome 2nd degré complexe à coefficient complexe 20-09-10 à 12:43

Bonjour
déjà, ton delta est faux, c'est -5 et pas -3
cherche tes racines sous forme a + ib :

(a+ib)² = -3 + 12i

donc :
partie réelle a² - b² = -5
partie imaginaire ab = 6

et pour simplifier le boulot on y ajoute le module :
a² + b² = 13

on additionne partie réelle et module : 2a² = 8 donc a = + ou - 2
on soustrait les mêmes : 2b² = 18, donc b = + ou - 3

comme le produit est positif, on a a et b positifs ensemble ou négatifs ensemble, donc delta = (2 + 3i)² = (-2 - 3i)²

Posté par
lafol Moderateur
re : Polynome 2nd degré complexe à coefficient complexe 20-09-10 à 12:44

tes racines de delta, hein, au début du post précédent

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Polynome 2nd degré complexe à coefficient complexe 20-09-10 à 12:48

Bonjour

"La" racine carrée d'un nombre complexe n'a pas de sens; en revanche, tout complexe non nul, ici -3+12i, admet deux racines carrées opposées a + bi et -a-bi avec a et b réels.

Il s'agit donc de déterminer a et b. Pour ce faire, la technique habituelle consiste à partir de

(a+bi)^2 = -3 + 12i , qui donne en identifiant:

a^2 - b^2 = -3 et 2ab = 12.

Pour s'en tirer, l'astuce classique est d'ajouter que la relation (a+bi)^2 = -3 + 12i entraîne aussi l'égalité des modules , ce qui s'écrit:

a^2 + b^2 = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153}.

D'où en additionnant avec la première relation, on obtient deux valeurs possibles pour a car b disparaît.
On trouve les valeurs correspondantes de b en utilisant la deuxième égalité obtenue.

Tu obtiendras alors les racines carrées complexes de \Delta.
Tu peux retenir les formules suivantes, qui sont à s'y méprendre celles que tu as vues en Premières:

si \delta et -\delta sont les racines carrées complexes de \Delta, alors les racines du trinôme az^2+bz+c (a\neq 0) sont:

\fr{-b-\delta}{2a} et \fr{-b+\delta}{2a}.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Polynome 2nd degré complexe à coefficient complexe 20-09-10 à 12:49

Coucou lafol!
Ouh là, 5 minutes dans les gencives, 5 !!!

Posté par
lafol Moderateur
re : Polynome 2nd degré complexe à coefficient complexe 20-09-10 à 12:50

oui, mais moi je n'ai pas LaTeXifié (mis j'ai vu sa faute de signe dans delta ... racine de 153, ça le faisait pas ...)

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Polynome 2nd degré complexe à coefficient complexe 20-09-10 à 15:42

En effet...je me disais bien qu'il y avait sans doute un problème, mais je n'avais pas le temps de vérifier davantage...



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