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Niveau Maths sup
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Polynôme (avec complexe)

Posté par
ve12
17-02-17 à 15:12

Bonjours je bloque sur un exercice de mon dm.
Pour tout z complexe on pose P(z)=z^4+2z^3-z²+10
1) Soit x un réel non nul. On a z=x(1+i), donner l'expression de P(z) sous la forme : P(x(1+i))= Q(x)+iR(x), ou Q et R son des polynômes à coeff réels. (je dois chercher une racine, mais je vois pas comment faire)

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Razes
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 15:21

Tu as trouvé quoi pour P(x(1+i))= Q(x)+iR(x)?

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 15:30

Justement je vois pas comment le mettre en P(x(1+i))= Q(x)+iR(x)  car pour le quotient il  nous faut un diviseur B non?

Posté par
Razes
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 15:51

Remplace z par x(1+i) et fait le calcul.

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 16:20

je trouve 8x^3-8ix^3-2x+2ix+10

Posté par
boninmi
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 17:21

z4 fournit nécessairement un terme en x4, revois ton calcul.

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 17:26

Ah ouii, j'ai fais sauter des i^^'

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 17:31

2x4+8x^3-8ix^3-2x+2ix+10

Posté par
Glapion Moderateur
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 17:41

non, rien que le terme en x4 est faux
(1+i)4x4 = -4x4

et puis après, ordonne les termes sous la forme Q+iR puisque c'est ça que l'on te demande.

Posté par
boninmi
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 17:42

ve12 @ 17-02-2017 à 17:31

2x4+8x^3-8ix^3-2x+2ix+10


Ça ne colle pas. Le z4 doit te donner -4x4, qui est le seul terme de degré 4, et il ne peut pas y avoir de x, puisqu'il n'y a pas de terme en z dans la formule de départ, ou alors tu n'as pas donné la bonne.
Qu'obtiens tu pour les puissances successives de (1+i) ?  (1+i)2= ..., (1+i)3= ...  ?

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 17:57

-4x^4+x^3(-16+16i)-2ix²-x(2+2i)+10  je pense que c'est ça cette fois!
J'avais fait une grosse erreur...

Posté par
alb12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 18:12

ve12 @ 17-02-2017 à 15:30

Justement je vois pas comment le mettre en P(x(1+i))= Q(x)+iR(x)  car pour le quotient il  nous faut un diviseur B non?

sans parler du reste

Posté par
Razes
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 18:17

ve12 @ 17-02-2017 à 17:57

-4x^4+x^3(-16+16i)-2ix²-x(2+2i)+10  je pense que c'est ça cette fois!
J'avais fait une grosse erreur...

Regroupe les éléments avec i ainsi que les éléments sans  i puis factorise i.

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 18:28

Merci!!!

Posté par
Razes
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 19:08

Ton calcul est faux.

z=x(1+i)

P(z)=P(x(1+i))=x^4(1+i)^4-2x^3(1+i)^3-x^2(1+i)^2+10

Que valent?; (1+i)^2; (1+i)^3 et (1+i)^4

Posté par
veleda
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 19:12

bonjour,
* il me semble que tu travailles avec un P(z) ayant  un terme  de degré  un en  z ce n'est pas le cas  pour celui de l'énoncé  que tu as fourni ?
* ensuite   le terme  2z3 donne 2x3(1+i)3=2x3((2i-2),il me semble que tu as calculé(2z)3 et non 2(z3)

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 19:22

(1+i)^2= 2i ; (1+i)^3= -2+2i et (1+i)^4=-4  non?

Posté par
Razes
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 19:27

Remplace les (1+i)^n; n=2;3;4 dans l'expression suivante:

P(z)=P(x(1+i))=x^4(1+i)^4-2x^3(1+i)^3-x^2(1+i)^2+10

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 19:33

-4x^4+2x^3(-2+2i)-x²2i-2x(1+i)+10

Posté par
Razes
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 19:38

Tu vois qu'il n y a pas de nombre 16

Peux tu factoriser comme je t'avais demandé ?

Posté par
Razes
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 19:40

ve12 @ 17-02-2017 à 19:33

-4x^4+2x^3(-2+2i)-x²2i-2x(1+i)+10

D'où ça sort?

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 19:45

j'ai oublié un terme en recopiant  
P(z)=z^4+2z^3-z²-2z+10  

Posté par
Razes
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 20:00

Ne pas oublier de corriger ce qui est en rouge.
Peux tu factoriser comme je t'avais demandé ?

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 20:06

-4x^4+4x^3-2x+10-i(4x^3+2x²+2x)

Posté par
Razes
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 20:11

Donc tu peux écrire tes polynômes P(x) et Q(x)

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 20:18

P(x)=-4x^4+4x^3-2x+10
R(x)= -4ix^3-2ix²-2ix

Posté par
ve12
re : Polynôme (avec complexe) 17-02-17 à 20:19

Q(x)=-4x^4+4x^3-2x+10 *

Posté par
boninmi
re : Polynôme (avec complexe) 18-02-17 à 17:30

ve12 @ 17-02-2017 à 19:45

j'ai oublié un terme en recopiant  
P(z)=z^4+2z^3-z²-2z+10  

Il a fallu te le dire deux fois pour que tu le précises ...
Tes résultats sont encore inexacts. Il y a des fautes de signe et il n'y a pas de i dans R(x), qui est un polynôme à coefficients réels (énoncé).



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