Niveau Maths sup

Polynômes

Posté par
Pythix 22-02-07 à 12:05

Bonjour,

voici mon problème :
1. J'ai montré qu'il existe un unique polynôme qui vérifie : $E_k(X+1)+E_k(X)=2X^k$
2. J'ai prouvé $E'_k=kE_{k-1}$
3. J'ai prouvé $E_k(1-X)=(-1)^kE_k(X)$
4. J'ai montré $E_n=X^n-\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}E_{n-k$

5. On me demander d'expliciter $E_0,E_1,E_2,E_3,E_4,E_5$
j'ai mis $E_0=1$
$E_1=X-\frac{1}{2}E'_n$
$E_2=X^2-\frac{1}{2}E'_n-\frac{1}{4}E''_n$
$E_3=X^3-\frac{1}{2}E'_n-\frac{1}{4}E''_n\frac{1}{12}E'''_n$
...
6. On me demande de déterminer $E_{2p}(0), E_{2p}(1),E_{2p+1}(\frac{1}{2})$
je trouve $E_{2p}(0)=E_{2p}(1)=0$
mais pour $E_{2p+1}$ je vois pas trop

7. Il est demandé d'étudier les variations de la fonction polynômiale associée à $E_k$

Merci d'avance

Posté par re : Polynômes 22-02-07 à 15:09

Bonjour,

il s'agit des polynômes d'Euler. Voir par exemple :
http://mathworld.wolfram.com/EulerPolynomial.html
où tu trouvera ne nombreuses informations pour les expliciter et les étudier.

Posté par re : Polynômes 22-02-07 à 21:31

merci, mais je vois pas comment calculer $E_{2p+1}(\frac{1}{2})$ ...
si quelqu'un pouvait m'aider...

Posté par re : Polynômes 23-02-07 à 07:33

Bonjour,

si vous aviez consulté la page concernant les polynômes d'Euler sur le site que j'ai indiqué, vous auriez pu voir les polynômes E1(x), E2(x), E3(x) , etc. et constater ainsi que vos réponses à la question 5 ne sont pas explicitées.
Sur cette même page vous auriez aussi vu que E_(2p+1)(1/2) = 0 , ce qui ce déduit immédiatement de la réponse donnée à la question 3.

Posté par re : Polynômes 23-02-07 à 08:21

si, je suis bien aller sur le lien, et j'ai bien corrigé la question 3. maie j'ai pas du voir pour le E_2p+1. je vais revoir ca. merci.

Posté par re : Polynômes 23-02-07 à 09:56

corrigé la question 5 pardon.
même avec la question 3. en prenant X=1/2 on arrive à $E_{2p+1}(\frac{1}{2})=-E_{2p+1}(\frac{1}{2})$
donc $E_{2p+1}(\frac{1}{2})=0$

Posté par re : Polynômes 24-02-07 à 11:49

Re,
Le problème des formules du site, c'est qu'elles ne correspondent pas vraiment à celles que j'ai démontré...
Pour les variations, j'arrive à sortir que la dérivée s'annule en 1/2 pour $E_{2p}$
mais il y a 4 cas : 2 pour les indices pairs et 2 pour les indices impairs... je me perds un peu.

Posté par re : Polynômes 24-02-07 à 17:32

il faut étudier sur l'intervalle [0,1]

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