Bonsoir gallopinmélina

Je crois que l'on a pas tellement le choix : il faut développer l'expression du départ à l'aide du binôme de Newton.

Kaiser

ouai c'est sur , j'ai du me tromper alors je vais recommencer...
car la suite m'a un peu impression aussi... après on demande de prouver que  la somme pour k=1 ) k=r des cotan²(kpi /(2r+1)) = r(2r-1)/3...

et la franchement je voyais pas le lien avec le polynome ... mais peu etre que ça va s'eclaircir,

Il me semble qu'il va falloir utiliser les relations coefficients-racines (donc il faut déterminer les racines de notre polynôme dans un premier temps).

Kaiser

bonjour gallopinmelina
ce n'est pas plutôt le coefficient de X^2(r-p)que l'on demande

sauf erreur de ma part
Q_2r=1/2i_{de k=0 à2r+1} C_2r+1^kX^2r+1-k(i)^k[1-(-1)^k)]
si k est pair le terme entre crochets est nul et si k est impair (k=2p+1)il vaut 2
donc Q_2rn'a que des termes en X^2r+1-2p-1 c'est à dire en X^2(r-p) pour p variant de 0 à r

pour trouver les zéros de Q_2ril suffit de résoudre (X+i)_2r+1-(X-i)^2r+1=0
i n'est pas zéro de Q on peut poser Z=(X+i)/(X-i)  (1) et l'on est amené à résoudre Z^2r+1=1 ce qui est du cours
(1)=>X=i(Z+1)/(Z-1) si Zest différent de 1..........

Q est de degré 2r il a donc 2r zéros

Bonjour,

Pour ma part, je trouve :

Donc :

Ensuite on montre que les racines de sont :


Donc les racines de sont :


Sauf erreur !

Ensuite les relations coefficients-racines (somme des racines) dans Sr permettent de conclure.

bonjour nicolas
j'ai bien la m^me expression que la tienne pour Q_2ren faisant k=2p+1 dans mon expression de Q_2r
le polynome S_r est celui qui intervenait dans le problème d'analyse du CAPES que Cauchy a passé la semaine dernière et l'on demandait la même classique somme des cotan²

bon dimanche

Bonjour veleda.
Merci de ces précisions.

BOnjour,
j'ai un polynome Qn = 1/2i ( (x=i)^n+1 - (x-i)^n+1 )

et il faut déterminer sa décomposition dans R [X]

donc j'ai résolu l'éqxuation Qn =0 j'ai    ( (X+i)/(X-i))^n+1 = 1 ... j'ai déterminer les racines  n+1 ièmes.   mes racines sont  les itan( kpi / n+1 ) j'ai donc la décomposition dans C mais dans R , je n'y arrive pas...

pouvez vous m'aider???

merci!!

*** message déplacé ***

en fait je suis pas sur de mes racines  i tan ( kpi / n+1 ) ....

personne pour m'aider???

*** message déplacé ***

je suis désolée , je n'avais pas vu qu'on m'avait répondu sur mon message d'hier.

Désolée

*** message déplacé ***

Bonjour,

effectivement ca me rappelle quelque chose

bonsoir cauchy
il n'était pas trés dur ce sujet mais je me suis lassée je ne suis pas allée jusqu'au bout,
en algèbre j'ai perdu du temps à faire les petits dessins du début et je n'ai pas du tout regardé la dernière partie j'avais l'intention de m'y remettre ce w-end mais il a fait trop beau

Non pas bien dur,effectivement le début en algèbre prend du temps,je voulais aussi faire la dernière partie mais je l'ai pas encore abordé j'ai juste regardé le début

rebonsoje n'arrive pas à retrouver l'expression de la  somme de k = 1 à k=n des cotan (kpi/2n+1)

ça vaut n(2n-1)/3 mais je le retrouve pas ...

merci de votre aide

cotan ou cotan² ?

bonjour,
S_r a pour zéros les carrés des zéros de Q_2rc'est à dire les cotan²(k/(2r+1) pour k variant de 1 à r
la somme des zéros de S_r=-a_r-1/a_r si S_r=(de k=0 à r)a_kX^k
d'aprés l'expression de S_r encadrée par Nicolas cette somme c'est:    (_2r-2^2r+1)/(_2r^2r+1)
tu simplifie le rapport et tu trouves la somme cherchée

tu simplifies avec un s bien sûr

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https://www.ilemaths.net/sujet-polynomes-a-coefficients-dans-c-130121.html

*** message déplacé ***