Bonsoir,j'ai encore quelques problèmes avec cet exo malgré qu'houssa m'est bien aidé. Je vous inqdique à nouveau les questions qui me bloquent.
On considère la suite de polynomes (Tn) définie par:
T0(x)=1, T1(x)=X
quelquesoit n appartenant à N*, Tn+1(X)=2XTn(X)-Tn-1(X)
1)Montrer que :
quelquesoit µ £ R, Tn(cos µ)=cos(nµ)
OK
2)Montrer que Tn est l'unique polynome P vérifint: quelquesoit µ £ R, P(cos µ)=cos(nµ)
La je vois pas comment répondre
3) Calculer T2,T3,T4.
OK
4) Quel est le monome dominant de Tn?
il faut faire une récurrence? la pb est que je n'y arrive pas. Ensuite c'est la panique, je ne vois pas du tout comment faire les deux questions suivantes.
5) Quelles sont les racines de Tn?
6) soit n £ N, avec Tn(x)=a0+a1X+...+anX^n et k un entier de [0,n], montrer que ak=0 si,et seulement si, k et n ne sont pas de meme parité.
Encore merci
pour la 2 si tu supposes qu'il existe un autre polynôme Q vérifiant la propriété, tu as :
(P-Q)(cos x) = P(cos x) - Q(cos x) = cos nx - cos nx = 0
donc pour tout x on a (P-Q)(cos x) = 0
le polynôme P-Q est nul sur l'intervalle [-1,1] car on peut faire varier cos x de -1 à 1.
Il a donc une infinité de racines, le polynôme (P-Q) est alors le polynôme nul.
P-Q = 0 cad P = Q
donc P est unique.
bonsoir, j'ai encore quelques problèmes avec cet exo, j'ai trouvé la question 1,2,3, pour la 4 le monome dominant c'est 2^(n-1)X^n mais je n'arrive pas à le démontrer par récurrence. Ensuite je sèche totalement pour les deux autres questions, je sais que pour les racines il faut démontrer cos(nµ)=0 mais je n'y arrive pas ensuite c'est le flou total pour la 6ème question.
Encore merci
pour la question 5 :
si tu prends x = (2p+1)*/2n
avec p{0,1,...,n-1}
tu auras les cos x distincts deux à deux car
- les x sont distincts deux à deux
- on voit que 0 < (2p+1)*/2n <
donc 0 < x <
or entre 0 et la fonction cosinus est injective,
donc si x1 différent de x2 on aura cos x1 différent de cos x2
de ces deux constatations on déduit que les valeurs prises par cos x sont distinctes deux à deux.
et P(cos x) = P(cos (2p+1)*/2n) = cos [n*(2p+1)*/2n]
donc P(cos x) = cos [(2p+1)*/2]
-> et on sait que si k est impair on a cos (k*/2) = 0...
2p+1 est impair donc P(cos x) = 0 pour tous les x = (2p+1)*/2n
avec p{0,1,...,n-1}
il y donc n valeurs de x différentes tq P(cos x) = 0
et on a vu que cela voulait dire qu'il y avait n valeurs de cos x différentes...donc on a trouvé n racines de P : les cos x !
comme P est de degré n, ce sont les racines de P.
salut,
Bonjour, ca fait bientôt une semaine que je planche sur ce devoir et je n'ai toujours pas trouvé la solution à la question 6, ca me semble super compliqué, y a t il quelqu'un qui pourrait me donner un petit coup de pouce?
Encore merci pour tout
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