Bonjour !
Tu compliques beaucoup en faisant la différence des équations.
Moi je ferais :
Détecter une coordonnée non nulle de . Je suppose pour la suite que .

Un vecteur serait alors : .

Pour avoir non colinéaire à (toujours en supposant ) on peut prendre .

Bonjour

l'analyse mathématique de ce qu'on cherche et de ce qu'il faudrait calculer est très loin d'être aboutie
penser à l'algorithme est prématuré.

en particulier tu prétends que le système

(en plus est un vecteur !)

équivaut à
???

Bonjour luzak,
je répondais à Exion

je vous laisse poursuivre.

Bonjour luzak, merci de ta réponse, je vais réfléchir à ta méthode qui a l'air bien plus simple en effet !

Bonjour mathafou, en effet je dois poursuivre sur l'etude mathématiques sinon je ne risque pas d'avancer. Dans mon système j'entends bien sûr que est un vecteur, c'est une coquille.
Pour ce qui en est de l'equivalence, la première ligne équivaut à , et la seconde à
.
Par différence on retrouve l'équation que j'ai écrite... ou alors je me trompe et si vous pouviez m'expliquer pourquoi, ce serait très gentil de votre part.

parce que un système de deux équations ne peut pas être équivalent à une seule équation
c'est tout.

c'est une implication
pas une équivalence.

et donc "ça revient à ..." est faux

d'ailleurs quand on traite de systèmes on ne les réduit jamais à une seule équation
on garde toujours en permanence le système en tant que système entier
s'il y a N équations, il reste toujours et en permanence avec N équations
si on n'en écrit qu'une seule, on sous entend que cette équation remplace une seule des équations du système qui reste réellement encore avec ses N équations

faire autrement est courir à sa perte.

ici tu pourrais bien avoir (tout en vecteurs) u.(a-b) = 0 sans que ni u.a ni u.b ne soient nuls
que tu écrives ça en coordonnées ou en vecteurs c'est pareil.

Ah, mon manque de rigueur me poursuit ! Merci mathafou.
J'ai donc continué avec la méthode de luzak, je vous montre l'étude entière :

Soient (x,y,z), (d,e,f) et (g,h,i)

Raisonnons par disjonction de cas.
Si est le vecteur nul, n'importe quel couple de vecteurs non colinéaires fait l'affaire.
Si possède 2 coordonnées nulles : supposons (y,z)=(0,0).
On a alors (d,g)=(0,0). Il faut juste que  . Les vecteurs (0,1,2) et (0,2,3) fonctionnent très bien.

Si possède 1 coordonnée nulle : supposons (x,z)0
Posons et , alors
Posons et (en faisant attention à ce que les vecteurs et soient non colinéaires entre eux), alors
Finalement on obtient : (,1,0) et (0,1,).

Qu'en pensez-vous ?

dans le dernier cas
Si possède 1 coordonnée nulle : supposons
c'est donc que
et justement alors les deux vecteurs générés par les formules à la fin sont (0,1,0) et (0, 1, 0)
donc sont non seulement colinéaires mais égaux

ce cas est en fait celui où aucune coordonnée n'est nulle.
nota : éviter des divisions
au lieu de (-y/x, 1, 0, préférer (-y, x, 0)

si y = 0 seule (x et z non nuls) on peut prendre (0, 1, 0) et le vecteur (z, 0, -x)

Oui en effet, je suis allé un peu vite. Voici l'esquisse de mon algorithme (peut être optimisable), je vous remercie pour l'aide que vous m'avez apporté :

: Debut
: Ecrire (x,y,z)
: Si (x,y,z)=(0,0,0) Alors
: Afficher "2 vecteurs directeurs :" (1,2,3) et (4,5,6)
: Sinon
: Si   et et   Alors
: Afficher "2 vecteurs directeurs :" (0,1,2) et (0,2,3)
: Sinon
: Si et et Alors
: Afficher "2 vecteurs directeurs :" (1,0,2) et (2,0,3)
: Sinon
: Si et et Alors
: Afficher "2 vecteurs directeurs :" (1,2,0) et (2,3,0)
: Sinon
: Si et et Alors
: Afficher "2 vecteurs directeurs :" (0,1,0) et (1,2,-1)
: Sinon ... (je vais pas faire toutes les coordonnées, je gaspillerai et votre temps, et le mien)
: Si et et   Alors
: Afficher "2 vecteurs directeurs :" (0,z,-y) et (0,2z,-2y)
: Fin Si
: Fin Si
...
: Fin Si
: Fin

si x=y=z=0 le vecteur u est nul et "le plan orthogonal à ce vecteur" est indéterminé
parler de vecteurs directeurs de ce plan dans ce cas n'a pas de sens


Si x≠0 et y=0 et z≠0 Alors
: Afficher "2 vecteurs directeurs :"a(0,1,0) et b(1,2,-1)

u.b = x + 0*2 - z ≠ 0 sauf si par miracle x = z !
ce n'est pas ce que je t'avais proposé


si x,yz non nuls (le dernier cas )
tes vecteurs a(0,z,-y) et b(0,2z,-2y) sont loin de convenir vu que visiblement b = 2a !
dans le message d'avant tu avais proposé pour ce cas ou xyz non nul (que tu avais pris à tort pour le cas y = 0)
et .

que je t'avais proposé d'écrire en multipliant tout par x≠0 pour le premier

(et bien entendu de même pour le second en multipliant par z≠0)

En effet je me suis trompé dans mes calculs... J'ai rectifié mon erreur, je vous remercie beaucoup ! Bonne soirée 😋

Bonjour tout le monde, je suis tombé tout à l'heure sur le produit vectoriel, ne sachant pas ce que c'était, j'ai regardé des cours à ce sujet sur internet. Finalement, c'est l'outil idéal pour le problème (en effet la méthode d'avant était bonne mais ça m'a pris des lignes et des lignes pour écrire l'algorithme)... je vous montre donc mon nouvel algorithme (qui ne fait que 4 lignes!) :

Début
: Entrer (x,y,z)
: Afficher et
Fin

ça ne marche que si x et z non nuls etc
donc l'utilisation du produit vectoriel ne permet pas seule de couvrir tous les cas.
quoi que tu fasses, il y aura toujours des tests à faire et un calcul différent selon les cas de figure

l'utilisation de ce produit vectoriel ne fait que simplifier mais pas autant que tu le crois.

Oui j'ai vu après avoir publié que ça ne fonctionnait pas tout le temps, j'ai donc rajouté le cas où (x,z)=(0,0). 2 vecteurs orthogonaux à (0,k,0), k réel strictement positif, on peut prendre (1,0,0) et (0,0,1) et le tour est joué. Finalement le produit vectoriel + ce cas là facilitent bien les choses ! 😊