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primitive d une exponentielle

Posté par Liloue (invité) 25-11-05 à 17:49

Bonsoir à tous !
C'est peut etre les premiers flocons de neige qui me refroidissent mais je suis dans un exo de colle et j'ai un doute...
quelle est la primitive de
e^{-t^2}  ??

merci de vos reponses

Posté par
Nightmarere : primitive d une exponentielle 25-11-05 à 17:55

Bonsoir

Pas de primitives usuelles. Si tu dois démontrer la convergence d'une intégrale alors il va falloir passer par un autre moyen que le calcul

Posté par Liloue (invité)re : primitive d une exponentielle 25-11-05 à 18:03

bon alors je vais expliquer le problème, je ne trouvai pas cette primitive usuelle moi...

u_n=\int_\infty^{\infty} \frac{t^n}{n!}e^{-t^2}dt

et je dois exprimer u_n en fonction de n et de \int_\infty^{\infty}e^{-t^2}dt
donc je dois me servir de u_{n+1} pour trouver une relation de récurrence et enfin trouver u_n mais j'ai un problème avec la primitive de l'exponentielle...

Posté par
stokastikre : primitive d une exponentielle 25-11-05 à 18:45


Peut-être que Nightmare a été trop bref pour que tu comprennes.

La fonction t \mapsto e^{-t^2} n'admet de primitive que l'on peut écrire avec des "formules usuelles". Ceci est démontré en mathématique. Tu ne dois donc pas chercher ce primitive de cette fonction.

Posté par
Ksilverre : primitive d une exponentielle 25-11-05 à 19:14

pas le droit d'utiliser la formule des complements je suppose ? ^^


bon deja pour n impair on a Un=0 par l'imparité de l'integrande.


apres on tente une Ipp gentil sur Un sa me donne (je te laisse faire les calcule, j'aime pas les ipp moi ^^ ) :

U(n+2)=U(n)/(2n+2)

a partir de la tu peut en deduir facilement une expression de U2n en fonction de n et Uo

et Uo c'est justement l'integral qu'on te demande de calculer




Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : primitive d une exponentielle 25-11-05 à 19:56

Je suppose que l'intégration est de -oo à +oo et pas ce que tu as écrit, sinon ce serait trop facile ...

Si n est impair, la fonction intégrée est impaire.
Donc U(n) = 0 pour n impair.
-----
Pour n pair:

Poser t.e^(-t²) dt = dv --> -(1/2).e^-t^2 = v
et poser t^(n-1) = u --> (n-1).t^(n-2) dt = du

U_n = \int_{-\infty}^{\infty}\ \frac{t^n}{n!}. e^{-t} dt = [-\frac{1}{2}.t^{n-1}.e^{-t^2}]_{-\infty}^{\infty} + \frac{n-1}{2}.\int_{-\infty}^{\infty}\ t^{n-2}.e^{-t^2}\ dt

\int_{-\infty}^{\infty}\ \frac{t^n}{n!}. e^{-t} dt =  \frac{n-1}{2}.\int_{-\infty}^{\infty}\ t^{n-2}.e^{-t^2}\ dt

et avec U_{n-2} = \int_{-\infty}^{\infty}\ \frac{t^n}{(n-2)!}. e^{-t} dt, il vient:

\frac{U_n}{U_{n-2}} = \frac{(n-1)(n-2)!}{2.n!} = \frac{(n-1)!}{2.n!} = \frac{(n-1)!}{2.n.(n-1)!}

\frac{U_n}{U_{n-2}} = \frac{1}{2n}

U_{n-2} = 2n.U_n

Et pareillement:

U_{n} = 2(n+2).U_{n+2}

U_{n+2} = \frac{1}{2(n+2)}.U_n
-----
U_{0} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}\ dt

Avec les 2 dernières lignes, il n'y a plus qu'à ...

(Ne pas oublier que U(n) = 0 pour n impair).
-----
Sauf distraction.

Posté par Liloue (invité)re : primitive d une exponentielle 25-11-05 à 19:57

ouh là je ne comprends pas tout..
comment tu fais une intégration par partie sans intégrer cette exponentielle ? tu la dérive plutot ?
moi il me faut l'expression de Un en fonction de n et de \int_\infty^{\infty} e^{-t^2} dt ... j'ai pas foncièrement besoin de U0 enfin je crois...

Posté par Liloue (invité)re : primitive d une exponentielle 25-11-05 à 19:59

ah nous avons repondu en meme temps..
merci jp, je comprends mieux !
je vais reprendre tout ca !

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : primitive d une exponentielle 25-11-05 à 20:07

A partir de U_{n+2} = \frac{1}{2(n+2)}.U_n

4$ U_2 = \frac{1}{4}.U_{0}
4$ U_4 = \frac{1}{8}.U_{2} = \frac{1}{4*8}.U_{0}
4$ U_6 = \frac{1}{12}.U_{3} = \frac{1}{4*8*12}.U_{0}
4$ U_8 = \frac{1}{16}.U_{3} = \frac{1}{4*8*12*16}.U_{0}
4$ U_n = \frac{1}{16}.U_{3} = \frac{1}{4*8*12*16* ...*(2n)}.U_{0}
4$ U_n = \frac{1}{16}.U_{3} = \frac{1}{4*8*12*16*\ ...\ *(2n)}\ .\int_{-\infty}^{\infty}\ e^{-t^2}\ dt
ceci pour n pair.

U(n) = 0 pour n impair.
-----
Vérifie.  


Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : primitive d une exponentielle 25-11-05 à 20:10

Latex un peu raté, je recommence.

A partir de U_{n+2} = \frac{1}{2(n+2)}.U_n

U_2 = \frac{1}{4}.U_{0}
U_4 = \frac{1}{8}.U_{2} = \frac{1}{4*8}.U_{0}
U_6 = \frac{1}{12}.U_{4} = \frac{1}{4*8*12}.U_{0}
U_8 = \frac{1}{16}.U_{6} = \frac{1}{4*8*12*16}.U_{0}

U_{n} =  \frac{1}{4*8*12*16*\ ...\ *(2n)}.U_{0}

U_n  = \frac{1}{4*8*12*16*\ ...\ *(2n)}.\int_{-\infty}^{\infty}\ e^{-t^2}\ dt
ceci pour n pair.

U(n) = 0 pour n impair.

-----

Posté par Liloue (invité)re : primitive d une exponentielle 27-11-05 à 14:12

je vous laisse la suite si ca vous interesse...

Q(P)= \sum_{i=1}^\infty U_n D^n (P)

avec D^n(P) dérivé n-ieme du polynome P appartenant à R[X]

quels sont les éléments propres de Q ?

Posté par Liloue (invité)re : primitive d une exponentielle 27-11-05 à 20:18

ah oui, Un est la suite définie précedemment !

Posté par nico38 (invité)re : primitive d une exponentielle 27-11-05 à 20:32

je me rappelle que pour calculer une integrale de e-x[sup]2[/sup] ma prof avait parlé d'integrales double l'année derniere c'etait nimporte quoi alors.. (integrale de 0 à l'infini je crois)

Posté par
kaiser Moderateurre : primitive d une exponentielle 27-11-05 à 20:51

Bonsoir à tous

Une petite question pour toi Liloue. La somme va bien de 1 à +, et non à partir de 0 ?

Merci

Kaiser

Posté par Liloue (invité)re : primitive d une exponentielle 27-11-05 à 21:31

en effet il faut rectifier, c'est de 0 à + l(infini
merci kaiser.

Posté par
kaiser Moderateurre : primitive d une exponentielle 27-11-05 à 22:37

Je ne suis pas sûr, mais je pense avoir trouvé la solution.
Tout d'abord, il faut souligner que c'est fausse somme infinie. En effet, si l'on se donne un polynôme fixé P, il n y'a qu'un nombre fini de termes non nuls (si on note d son degré, seuls les d+1 premiers peuvent être non nuls).

Ainsi, on a Q(P)=\sum_{n=0}^{d}U_{n}D^{n}(P)
Supposons que P soit un vecteur propre pour une certaine valeur propre . On a donc \sum_{n=0}^{d}U_{n}D^{n}(P)=\lambda P

Maintenant, j'utilise un résultat d'algèbre linéaire qui dit qu'une suite échelonnée de polynômes est une famille libre.
Mais on voit bien que comme P est un polynôme de degré d, alors la famille (P,D(P),D²(P),....,Dd(P)) est libre.
Ainsi, dans l'égalité \sum_{n=0}^{d}U_{n}D^{n}(P)=\lambda P, on peut identifier certains coefficients.

Supposons par l'absurde, que d2.
D'après l'égalité précédente, on aurait U2=0, ce qui n'est pas possible d'après les calculs faits par J-P quelques message au-dessus.

Ainsi, P est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 et on en déduit que tous les polynômes dérivés de P d'ordre n2 sont nuls.
On sait que U1=0, donc Q(P)=U0P=P.

On en déduit que les vecteurs propres de Q sont les polynômes constants (non nuls) et les polynômes de degré 1. Ce sont des vecteurs propres pour la valeur propre U0 (qui vaut \sqrt{\pi} en passant).

Sauf erreurs de ma part

Voilà

Kaiser

Posté par Liloue (invité)re : primitive d une exponentielle 28-11-05 à 17:44

heu je suis pas trop d'accord avec toi ou j'ai pas bien compris ton raisonnenment..
pourquoi dan ton 1er sous cas, on a nécessairement U2=O
tu peux detailler un peu stp..

Posté par
kaiser Moderateurre : primitive d une exponentielle 28-11-05 à 19:56

Bonsoir Liloue

Tu es bien d'accord avec moi que les deux membres de l'égalite sont tous les deux dans l'espace vectoriel engendré par P et ses polynômes dérivés dont une base est justement formée par P et ses polynômes dérivés (jusqu'à l'ordre d).
Ainsi, ce que je fais, c'est simplement identifier les coefficients.
Par conséquent, si d était supérieur ou égal à 2 alors le polynôme dérivé de P d'ordre 2 (c'est-à-dire D²(P)) est non nul.
A gauche, on à U2 devant D²(P) mais à droite, il n'y a aucun terme en D²(P) (ce terme est nul en fait). D'où je déduis que U2 est nul ce qui est absurde.

J'espère que ces explications te paraîtrons plus claires.

Kaiser

Posté par Liloue (invité)re : primitive d une exponentielle 28-11-05 à 20:52

oui c'est bon après relecture et réecriture tout me parait ok !
merci beaucoup Kaiser et jp !

Posté par
kaiser Moderateurre : primitive d une exponentielle 28-11-05 à 20:56

Mais je t'en prie Liloue !

Posté par
ottore : primitive d une exponentielle 28-11-05 à 23:59

je me rappelle que pour calculer une integrale de e-x2 ma prof avait parlé d'integrales double l'année derniere  c'etait nimporte quoi alors.. (integrale de 0 à l'infini je crois)
Non c'est parfaitement exact, sauf qu'il y'a une énorme différence entre calculer l'intégrale en certaines valeurs, et en toutes les valeurs (ce qui revient à calculer une primitive).
A+

Posté par boulay59 (invité)re : primitive d une exponentielle 29-11-05 à 01:51

tout à fait otto (et oui Jean-Michel ) pour info, la démo est ici : integrale impropre


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