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Primitives

Posté par
QuentinDelon1 23-11-21 à 16:46

Bonjour j'ai une primitive à résoudre :

xexp(x) cos(x)  dx

On m'a donné pour instructions :
Passer en complexes,  identifier la partie réelle et faire une IPP,

Je ne vois pas comment faire et je suis ne pas sur de l'ordre dans lequel je dois procéder

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 16:55

Bonjour,

Rappel: \cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

Tu substitues, ce qui te donnes 2 primitives à calculer, puis IPP effectivement.

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 17:06

J'obtiens,

(xexp(x(1+i))exp(x(1-i)))/2

Je ne vois pas comment identifier la partie réelle ?

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 17:12

Il faut commencer par faire les calculs, mais ce que tu as écrit ne va pas, et il manque le dx.

Posté par
Razesre : Primitives 23-11-21 à 18:51

Bonsoir,

Il manque un signe + entre les exponentielles et des parenthèses.

Il faut s'appliquer.

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 18:56

Pour être un peu plus constructif. Appelons I , l'une des primitives à calculer. On aura, une fois la transformation faite

2I = \int x e^{(1+i)x} dx + \int x e^{(1-i)x} dx = J_1+J_2

Tu calcules J_1.  J_2 s'en déduit immédiatement et tu fais la somme des 2

Ce faisant, les termes imaginaires purs doivent s'éliminer, car  2 I est une fonction réelle.

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 20:04

Pardonnez moi, écrire ses calculs en ligne , on oublie rapidement des détails !

Ok je comprends bien !
J'essaie de calculer J1, mais je ne vois pas !

J'ai envie de retransforme le eix en forme trigo mais finalement le problème reste le même que celui de départ il faut pouvoir intégrer ça ? Où est l'astuce ?

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 20:39

Il faut faire une IPP.

Pose     u=x, v'= e^{(1+i)x}

Tu sais quand même trouver une primitive de e^{ax}, non ? Alors là c'est pareil avec a=1+i.

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 20:55

je trouve J1 = (ex(1+i)(x(1+i)-1))/(1+i)2 qu'en pensez vous ?

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 21:01

C'est ça. Mais "simplifie" le (1+i)^2 (en fait, développe-le)

Tu devrais essayer d'utiliser les outils à ta disposition en bas de la fenêtre de saisie, en particulier ceux qui sont dans LTX avec 2 points rouges.

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 21:15

Ahhh c'est comme ça !!

Ainsi j'ai : J _{1} + J_{2} = \frac{-ie^{x(1+i)}(x(1+i)-1)+e^{x(1-i)}(x(1-i)-1)}{2}

Comment suis-je censé retrouver la partie réelle, en simplifiant puis en passant en forme trigonométrique ?

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 21:21

Tu as oublié un i

Ainsi j'ai : J _{1} + J_{2} = \dfrac{-ie^{x(1+i)}(x(1+i)-1)+{\red {i}}e^{x(1-i)}(x(1-i)-1)}{2}

Je te conseille de  factoriser le e^x, de repasser en cos  et sin et de développer; les termes comportant le nombre i, devraient s'éliminer 2 à 2.

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 21:35

Je n'arrive pas à factoriser par exp(x) :

J'ai : e^{x^{1+i}} e^{x^{1-i}}

Comment dois-je faire ?

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 21:38

Comment ça ?

e^{(1+i)x}= e^x e^{ix}, tout simplement.

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 21:48

je crois que la fatigue prend le dessus, à ce niveau là ...

J'obtiens :
J_{1}+J_{2} = e^{x}(cos(x)+sin(x)i)

Donc Re(J_{1}+J_{2}) = e^{x}cos(x)

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 21:50

Il semble y avoir une erreur ...

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 21:57

Non, c'est faux. Commence par écrire que

J_1= -\dfrac{e^x}{2} (i x e^{ix}-x e^{ix}-i e^{ix})

puis développe l'intérieur de la parenthèse.

Tu auras J_2   en changeant   i en -i.

Je n'ai pas voulu alourdir, mais il faudrait rajouter des constantes. Ne pas oublier dans la rédaction définitive.

Maintenant si tu es trop fatigué, laisse tomber pour ce soir et reprend tout cela calmement demain.

Préviens moi quand même que je ne reste pas planté là.

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 22:09

Ok pour J2,  maintenant qu'entendez-vous par développer l'intérieur de la parenthèse ?

Ok !

Les joies de la prépa, m'en empêchent haha, exo donné du jour au lendemain sur lequel je passe au tableau demain !

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 22:13

Citation :
qu'entendez-vous par développer l'intérieur de la parenthèse ?


Remplacer e^{ix} par \cos x+i \sin x  et effectuer les multiplications pour avoir une expression complètement développée.

Un peu fastidieux, mais c'est le meilleur moyen de ne rien oublier.

Posté par
Pirhore : Primitives 23-11-21 à 22:24

Bonsoir,

puisque vous avez pratiquement terminé, je me permets

personnellement je suis plutôt parti comme suit

\\ \int x\, e^x cos(x)dx=\Re\int x\,e^xe^{ix}dx=\Re\int x \,e^{(1+i)x}dx

ensuite IPP avec x=u, v'=e^{(1+i)x}

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 22:29

Oui, c'est sans doute ce que voulais indiquer le prof. L'autre méthode est plus laborieuse. QuentinDelon1pourra toujours corriger le tir.

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 22:32

J'obtiens :

Re(J_{1}+J_{2})=\frac{1}{2}e^{x}((x-1)sin(x)+xcos(x))

Donc  

I =\frac{Re(J_{1}+J_{2})}{2} ?

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 22:34

je ne suis pas sûr pour I à vrai dire !

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 22:43

Non, ici, on a directement

J_{1}+J_{2}=e^{x}((x-1)sin(x)+xcos(x))

et effectivement I =\dfrac{J_1+J_2}{2}=\dfrac{1}{2}e^{x}((x-1)sin(x)+xcos(x)) (+Constante, ne pas oublier)

Maintenant regarde ce qu'a écrit Pirho à 22h 24. C'est sûrement ce qu'on voulait te faire faire.

Tu vas retrouver les mêmes calculs, et là à la fin il faudra bien prendre la partie réelle.

Excuse-moi de t'avoir engagé dans une voie un peu moins rapide...

Posté par
QuentinDelon1re : Primitives 23-11-21 à 22:58

Ok j'ai compris !!

Oui mais bon pour maintenant plus le temps de recommencer !

Je verrai bien demain, on me fera peut-être repartir dans cette voie !

En tout cas, ça marche !

Merci à vous, bonne soirée.

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 23:01

L'autre voie revient au calcul de J_1 tout simplement , donc demain tu peux directement adapter.

Bonne nuit.

Posté par
larrechre : Primitives 23-11-21 à 23:04

...revient à calculer J_1 puis à en prendre la partie réelle pour avoir I.

Posté par
Chamfortre : Primitives 24-11-21 à 07:14

Bonjour;

on récapitule

\int xe^x(\cos x+i\sin x)\,dx=\int xe^{(1+i)x}\,dx \\

changement de variable


t=(1+i)x

\frac{1}{(1+i)^2}\int te^t\,dt=\frac{1}{(1+i)^2}e^t(t-1)=-\frac{1}{2}ie^x(\cos x+i\sin x)(x-1+ix)


(\sin x-i\cos x)(x-1+ix)=(x-1)\sin x+x\cos x+i(x\sin x-(x-1)\cos x) \\


en identifiant

\int xe^x\cos x=\frac{e^x}{2}(x\sin x+x\cos x-\sin x)+c


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