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Niveau Licence Maths 1e ann
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Primitives complexes

Posté par
Etonnai
07-03-16 à 20:35

Bonsoir, je souhaiterais de l'aide pour mon exercice dont l'énoncé est le suivant :

Soit \lambda=a+ib \in Complexes avec b=Im(\lambda) \neq 0

Déterminer les primitives de f(x)=\frac{1}{x-\lambda }

sur R.


Pour ce faire j'ai procéder par changement de variable en posant X= x - \lambda
J'obtient f(x)=1/X les primitives sont ln(X)+C une constante appartenant à R

J'ai ensuite remplacer le X : ln(x- \lambda)+C=ln(x-a+ib)+C
Or ceci représente les primitives dans C alors qu'il me les faut dans R, donc il faudrait que b=0 pour faire disparaître le i, mais l'énoncé nous dit l'inverse b\neq 0.
J'ai donc pensé à utiliser la constante pour faire disparaître le i avec une constante sous la forme ln(i qqchose)
Pour utiliser la propriété du logarithme népérien : ln(Y)+ln(Z)=ln(Y*Z)
Je n'arrive pas à aller plus loin, mais j'ai une question (rajouter les valeurs absolues dans l'exponentielle), je n'ai jamais utiliser de logarithme sur des fonctions complexes, donc ce que j'ai écrit là et je pense simplement faux, mais du coup comment procédés pour terminer l'exercice ?

Posté par
Raptor
re : Primitives complexes 07-03-16 à 20:46

Bonsoir,

piége classique: c'est ln de VALEUR ABSOLUE de X      + constante

Posté par
Etonnai
re : Primitives complexes 07-03-16 à 20:51

Je l'avais dit plus bas que je ne les avait pas mise car je ne sais pas comment faire, mais sinon tu penses que c'est la bonne démarche d'utiliser ln(|X|)+C
mais X=x-lambda=x-a-ib Peut-on appliquer directement le ln sur un complexe ?

Et ln(x-a-ib)+C ne représente donc pas les primitives sur R ?

Posté par
Etonnai
re : Primitives complexes 07-03-16 à 21:31

J'ai plutôt procédés de la sorte comme je n'ai jamais vue les logarithmes complexes :

J'ai remplacer lambda dans f(x)=1/x-lambda=1/(x-a-ib)
J'ai posé g(x)=x-a et h(x)= -b

J'ai donc f(x)=1/g(x)+i h(x)

G(x)=(x²/2)-ax et H(x)= -bx
Mais F(x) = ?
Comment procéder pour avoir F(x) ?

Posté par
verdurin
re : Primitives complexes 07-03-16 à 21:32

Bonsoir,

\dfrac{1}{x-a-\text{i}b}=\dfrac{x-a+\text{i}b}{(x-a)^2+b^2}=\dfrac{x-a}{(x-a)^2+b^2}+\text{i}\cdot\dfrac{b}{(x-a)^2+b^2}

Posté par
Etonnai
re : Primitives complexes 07-03-16 à 21:44

Bonsoir, merci beaucoup c'est vrai que j'aurais pu procédez comme pour avoir le conjuguée d'un complexe.

Maintenant avec ça je cherche les primitives et de la partie réelle et imaginaires ?
Car en faite ce qui me gène c'est le fait de passer d'une fonction définis sur les complexe à un fonction (la primitive ici) définis sur les réelles ?

Posté par
verdurin
re : Primitives complexes 07-03-16 à 21:54

On cherche en effet une primitive de la partie réelle et une primitive de la partie imaginaire.

La fonction obtenue, disons F, est bien définie sur les réels.
Mais, comme la fonction f, elle est à valeurs complexes.

On a
      f\ :\ \R\rightarrow\C
 \\ F\ :\ \R\rightarrow\C

Posté par
Etonnai
re : Primitives complexes 07-03-16 à 22:06

Ah d'accord je comprend mieux maintenant, merci pour votre explication.

Pour ce qui est des primitives je dois donc calculer :

\int \frac{(x-a)}{(x-a)²+b²} et \int \frac{b}{(x-a)²+b²}=\frac{1}{b}\int \frac{b}{(x-a)²}

Que dois-je utiliser, l'intégration par partie ou le changement de variable, ou bien je suis en train de me compliquer la vie et il y a beaucoup plus simple ?

Posté par
verdurin
re : Primitives complexes 07-03-16 à 22:17

Pour la méthode, c'est ça.

La première intégrale est presque de la forme \frac{u'}{u} et donne un log.

La seconde est presque de la forme \frac{u'}{u^2+1} est donne un arctan.

Attention quand même :


 \\ \dfrac{b}{(x-a)^2+b^2}=\frac1b\dfrac{\frac1{b}}{\left(\frac{x-a}{b}\right)^2+1}

et tu as oublié des morceaux dans ce que tu as écrit.

Posté par
Etonnai
re : Primitives complexes 07-03-16 à 22:20

Ah oui d'accord, je vois ce que j'avais oublié !
J'obtient maintenant :
F:x\mapsto\ln\big(\sqrt{(x\!-\!a)^2\!+\!b^2}\big)+i\text{Arctan}\big(\frac{x-a}{b})
C'est correct ?

Posté par
verdurin
re : Primitives complexes 07-03-16 à 22:28

Non.

Pour la partie réelle c'est bon, mais ma pour la partie imaginaire. Relis ce que j'ai écris au message précédent.

Avec, en prime, une remarque qui est un peu une question de goût.
Je préfère  

   \dfrac12\ln\bigl((x-a)^2+b^2\bigr)$ à $\ln\big(\sqrt{(x\!-\!a)^2\!+\!b^2}\big)

Posté par
Etonnai
re : Primitives complexes 07-03-16 à 22:41

D'accord, moi j'ai utiliser :

x\mapsto\dfrac{b}{(x\!-\!a)^2\!+\!b^2}\!=\!\dfrac{\frac{1}{b}}{1\!+\!(\frac{x-a}{b})^2} est x\mapsto\text{Arctan}\big(\frac{x-a}{b})
(Par hypothèse, b\!\not=\!0)

Posté par
verdurin
re : Primitives complexes 07-03-16 à 22:51

Tu as raison.

C'est moi qui me suis trompé en oubliant le b du numérateur.

Toutes mes excuses.

Posté par
Etonnai
re : Primitives complexes 07-03-16 à 22:53

Pas de problèmes. L'erreur est humaine comme on dit.
Je vous remercie déjà de m'avoir apporté votre aide !
Et aucun soucis pour l'erreur.



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