Le site web nous dit des précisions sur cette propriété:

Ce résultat doit être démontré dans chaque cas. Comme on connaît le type du conjugué, la démonstration s'avère plus facile.
En effet, dans la plupart des cas, le nombre de points fixes caractérise le type d'une isométrie dès qu'on sait si elle est positive ou négative
Une isométrie et sa conjuguée ont même nombre de points fixes et même "signe".
Seul le cas des rotations demande un peu plus de travail

salut

qu'est-ce que la conjuguée d'une isométrie ?

Soient f et g des applications. On appelle conjugué de g par f l'application .

Bonsoir,
je suppose que tu te places dans considéré comme espace affine euclidien. Et que est une isométrie.

Le plus simple est de montrer que c'est vrai pour considéré comme espace vectoriel euclidien.
Puis de vérifier que c'est vrai si est une translation ( ça découle du lien entre espace vectoriel et espace affine ).

On peut commencer par regarder le cas n=2.

Je ne connais pas

bonjour

je présume qu'on est dans le plan ici...

commence par le cas où g est une réflexion...

ensuite le reste s'en déduira car toute isométrie plane est composée d'au plus 3 réflexions

Faudrait-il distinguer les cas suivant le type d'isométrie de f?

ben oui faudra ensuite traiter tous les cas vu la question !

faudrait quand même préciser dans ton énoncé par quoi tu conjugue g .... qui est f ?

*conjugueS

f est l'isométrie par laquelle on conjugue g. Autrement dit est le conjugué de g par f.

On utilise le résultat de cours suivant :
Les points fixes de sont les images par f des points fixes de g.

Soit g la réflexion d'axe , f une translation de vecteur .
Soit M un point fixe de g.
M est sur la droite .
Donc il existe un point tel que donc
donc a pour points fixes les points de la droite

Donc   est une réflexion.

fais-le avec f une isométrie quelconque

Je ne sais pas comment faire, peut-être considérer :
il existe un point tel que , ce qui voudrait dire que g et   ont le même nombre de points fixes...

Cependant, on ne peut pas savoir si  f\circ g\circ f^{-1} est une rotation ou une symétrie centrale si g a un point fixe et un seul,
puisqu'une symétrie centrale et une rotation ont un seul point fixe.

Cependant, on ne peut pas savoir si   est une rotation ou une symétrie centrale si g a un point fixe et un seul,
puisqu'une symétrie centrale et une rotation ont un seul point fixe.

g est une réflexion d'axe , donc , déjà, son conjugué par f est une isométrie négative !

il est assez évident de montrer que les points de f() sont invariants par ce conjugué

ce qui permet de conclure sur la nature et élément caractéristique de ce conjugué...

Si on est dans le plan, une symétrie centrale est une rotation, d'angle ( ou 180° ).

Je te conseille de commencer par le cas où f est une translation.

verdurin

je crois que le problème c'est g, pas f...

peu importe l'isométrie f, il faut prouver que fogof^-1 est de même nature que g et que ses éléments caractéristiques sont les images par f des éléments de g

le prouver pour une réflexion g suffit si on s'y prend bien ensuite avec les composées de réflexions...

matheuxmatou,
tu as sans doute raison.
En fait j'étais parti dans l'écriture complexe des isométries du plan, où les seules conjugaisons vraiment intéressantes sont les conjugaisons par une translation ou par une rotation.

Un petit remord.
Il suffit de montrer que la conjugaison par une symétrie fonctionne bien.
Ensuite on utilise le fait que f est une composé de symétries et le résultat vient facilement.

oui, c'est une autre façon

où M est un point fixe de g

Il faut peut-être montrer que l'image de par f est invariante par où est une droite fixe de g

Soit une droite invariante par g
on a donc f(droites fixes par g) droites fixes par

et il faut montrer la réciproque :
on note
Appliquons ce résultat à g qui est le conjugué de de ψ par . Nous obtenons l'inclusion (droites fixes par \psi) droites fixes par g, c'est-à-dire droites fixes par f(droites fixes par g).

Est-ce que j'ai bien raisonné?

non !

il ne faut pas raisonner sur la droite globalement, mais sur les points de la droite

il s'agit de montrer que f() est invariante point par point et pas seulement globalement.

Mais alors on ne peut pas savoir quelles droites sont globalement invariantes par ?
voir : points et droites invariantes

puisque une droite peut être invariante sans que ses points le soient.

Bonjour, pas de réponse?

Posons ψ = f ◦ g ◦ f-1. Notons Fixes(g) (resp. Fixes(ψ) l'ensemble des points fixes de g (resp. ψ). Nous voulons montrer l'égalité :
Fixes(ψ) =f(Fixes(g)).
Soit C un point fixe de g. Par un calcul direct, on constate que l'image de f(C) par ψ est f(C) (f ◦ g ◦ f-1(f(C)=f ◦ g (C)=f(C)). Donc nous avons montré l'inclusion f(Fixes(g)) ⊂ Fixes(ψ).
Appliquons ce résultat à g qui est le conjugué de de ψ par f-1. Nous obtenons l'inclusion f-1(Fixes(ψ)) ⊂ Fixes(g), c'est-à-dire Fixes(ψ) ⊂ f(Fixes(g)).
Les deux inclusions donnent l'égalité attendue.

Bonjour matheuxmatou, est-ce que cette démonstration est correcte?

Pas de réponse?

est-elle vraiment de toi ?

eh non, j'ai copié le cours sur les isométries :  

page 21

up!

c'est pas le tout de copier... faut comprendre aussi !

Ben oui j'ai bien compris...

bon ben alors rédige une réponse complète au problème que tu posais initialement

Si g est une translation, g n'a aucun point fixe, donc aussi (puisque où est le conjugué de g par f).
Ensuite, comme g est une translation, c'est une isométrie positive, tout comme (composée avec et qui donne une isométrie positive parce que ce sont 2 isométries toutes deux positives ou toutes deux négatives.
Sachant qu'une isométrie qui n'a pas de points fixes et qui est positive est une translation, alors est aussi une translation.

ok

ensuite

et utilisons des lettres plus simple ... disons h pour le conjugué !

et finis de répondre à la question... élément caractéristique de h ?

(d'ailleurs l'énoncé que tu donnes au départ n'a pas beaucoup de sens au niveau des "image par f des éléments caractéristiques de g"...)

Si g est une réflexion d'axe , g a une droite de points fixes, c'est .
On a :
or, car une isométrie transforme une droite en une droite.
donc

Sachant qu'une isométrie qui a une droite de points fixes et une seule est une réflexion, h est une réflexion.

Mais au fait, qu'est-ce qu'un élément caractéristique?

ben par exemple pour une rotation c'est un point et un angle... et l'image par f d'un angle, ça n'a pas de sens

pour une rotation c'est un vecteur... et l'image par f (isométrie affine) d'un vecteur, ça n'a pas de sens non plus

Effectivement, moi je pensais que ça voulait dire points fixes.