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principe de conjugaison

Posté par
sgu35
11-07-21 à 09:46

Bonjour,
je voudrais savoir ce que veut dire et comment démontrer :
Le conjugué d'une isométrie g est une isométrie du même type que g dont les éléments caractéristiques sont les "images par f" de ceux de g.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 11-07-21 à 12:33

Le site web nous dit des précisions sur cette propriété:

Ce résultat doit être démontré dans chaque cas. Comme on connaît le type du conjugué, la démonstration s'avère plus facile.
En effet, dans la plupart des cas, le nombre de points fixes caractérise le type d'une isométrie dès qu'on sait si elle est positive ou négative
Une isométrie et sa conjuguée ont même nombre de points fixes et même "signe".
Seul le cas des rotations demande un peu plus de travail

Posté par
carpediem
re : principe de conjugaison 11-07-21 à 14:34

salut

qu'est-ce que la conjuguée d'une isométrie ?

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 11-07-21 à 19:08

Soient f et g des applications. On appelle conjugué de g par f l'application f \circ g \circ f^{-1}.

Posté par
verdurin
re : principe de conjugaison 11-07-21 à 19:38

Bonsoir,
je suppose que tu te places dans \R^n considéré comme espace affine euclidien. Et que f est une isométrie.

Le plus simple est de montrer que c'est vrai pour \R^n considéré comme espace vectoriel euclidien.
Puis de vérifier que c'est vrai si f est une translation ( ça découle du lien entre espace vectoriel et espace affine ).

On peut commencer par regarder le cas n=2.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 10:38

Je ne connais pas \R^n

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 10:46

bonjour

je présume qu'on est dans le plan ici...

commence par le cas où g est une réflexion...

ensuite le reste s'en déduira car toute isométrie plane est composée d'au plus 3 réflexions

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 11:57

Faudrait-il distinguer les cas suivant le type d'isométrie de f?

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 12:03

ben oui faudra ensuite traiter tous les cas vu la question !

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 12:05

faudrait quand même préciser dans ton énoncé par quoi tu conjugue g .... qui est f ?

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 12:05

*conjugueS

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 12:29

f est l'isométrie par laquelle on conjugue g. Autrement dit f\circ g\circ f^{-1} est le conjugué de g par f.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 12:45

On utilise le résultat de cours suivant :
Les points fixes de f \circ g \circ f^{-1} sont les images par f des points fixes de g.

Soit g la réflexion d'axe \Delta, f une translation de vecteur \vec{u}.
Soit M un point fixe de g.
M est sur la droite \Delta.
Donc il existe un point M'\in Fixes(f\circ g\circ f^{-1}) tel que f(M)=M' donc \vec{MM'}=\vec{u}
donc f\circ g\circ f^{-1} a pour points fixes les points de la droite t_{\vec{u}}(\Delta)

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 13:06

Donc f\circ g\circ f^{-1}  est une réflexion.

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 13:30

fais-le avec f une isométrie quelconque

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 14:39

Je ne sais pas comment faire, peut-être considérer :
il existe un point M'\in Fixes(f\circ g\circ f^{-1}) tel que f(M)=M', ce qui voudrait dire que g et  f\circ g\circ f^{-1} ont le même nombre de points fixes...

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 15:56

Cependant, on ne peut pas savoir si  f\circ g\circ f^{-1} est une rotation ou une symétrie centrale si g a un point fixe et un seul,
puisqu'une symétrie centrale et une rotation ont un seul point fixe.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 15:56

Cependant, on ne peut pas savoir si  f\circ g\circ f^{-1} est une rotation ou une symétrie centrale si g a un point fixe et un seul,
puisqu'une symétrie centrale et une rotation ont un seul point fixe.

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 17:58

g est une réflexion d'axe , donc , déjà, son conjugué par f est une isométrie négative !

il est assez évident de montrer que les points de f() sont invariants par ce conjugué

ce qui permet de conclure sur la nature et élément caractéristique de ce conjugué...

Posté par
verdurin
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 20:22

Si on est dans le plan, une symétrie centrale est une rotation, d'angle ( ou 180° ).

Je te conseille de commencer par le cas où f est une translation.

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 20:40

verdurin

je crois que le problème c'est g, pas f...

peu importe l'isométrie f, il faut prouver que fogof-1 est de même nature que g et que ses éléments caractéristiques sont les images par f des éléments de g

le prouver pour une réflexion g suffit si on s'y prend bien ensuite avec les composées de réflexions...

Posté par
verdurin
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 21:55

matheuxmatou,
tu as sans doute raison.
En fait j'étais parti dans l'écriture complexe des isométries du plan, où les seules conjugaisons vraiment intéressantes sont les conjugaisons par une translation ou par une rotation.

Posté par
verdurin
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 22:00

Un petit remord.
Il suffit de montrer que la conjugaison par une symétrie fonctionne bien.
Ensuite on utilise le fait que f est une composé de symétries et le résultat vient facilement.

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 12-07-21 à 22:45

oui, c'est une autre façon

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 13-07-21 à 09:11

Citation :
il est assez évident de montrer que les points de f() sont invariants par ce conjugué

ce qui permet de conclure sur la nature et élément caractéristique de ce conjugué...


C'est justement ce que je viens de dire :
Citation :
il existe un point M'\in Fixes(f\circ g\circ f^{-1}) tel que f(M)=M'

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 13-07-21 à 09:11

où M est un point fixe de g

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 13-07-21 à 09:14

Il faut peut-être montrer que l'image de \Delta par f est invariante par f\circ g \circ f^{-1}\Delta est une droite fixe de g

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 13-07-21 à 10:13

Soit \Delta une droite invariante par g
on a f\circ g \circ f^{-1}(f(\Delta))=f\circ g(\Delta)=f(\Delta) donc f(droites fixes par g) \subset droites fixes par \psi

et il faut montrer la réciproque :
on note \psi=f\circ g \circ f^{-1}
Appliquons ce résultat à g qui est le conjugué de de ψ par f^{-1}. Nous obtenons l'inclusion f^{-1}(droites fixes par \psi) \subset droites fixes par g, c'est-à-dire droites fixes par \psi \subset f(droites fixes par g).

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 13-07-21 à 10:24

Est-ce que j'ai bien raisonné?

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 13-07-21 à 13:25

non !

il ne faut pas raisonner sur la droite globalement, mais sur les points de la droite

il s'agit de montrer que f() est invariante point par point et pas seulement globalement.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 14-07-21 à 08:08

Mais alors on ne peut pas savoir quelles droites sont globalement invariantes par f\circ g\circ f^{-1} ?
voir : points et droites invariantes

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 14-07-21 à 08:22

puisque une droite peut être invariante sans que ses points le soient.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 15-07-21 à 11:07

Bonjour, pas de réponse?

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 15-07-21 à 11:11

matheuxmatou @ 12-07-2021 à 17:58

si g est la réflexion d'axe son conjugué par f est une isométrie négative !

il est assez simple de montrer que les points de f() sont invariants par ce conjugué

ce qui permet de conclure sur la nature et élément caractéristique de ce conjugué...


j'attends surtout une réponse de ta part avec une démonstration convaincante

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 15-07-21 à 12:36

Posons ψ = f ◦ g ◦ f-1. Notons Fixes(g) (resp. Fixes(ψ) l'ensemble des points fixes de g (resp. ψ). Nous voulons montrer l'égalité :
Fixes(ψ) =f(Fixes(g)).
Soit C un point fixe de g. Par un calcul direct, on constate que l'image de f(C) par ψ est f(C) (f ◦ g ◦ f-1(f(C)=f ◦ g (C)=f(C)). Donc nous avons montré l'inclusion f(Fixes(g)) ⊂ Fixes(ψ).
Appliquons ce résultat à g qui est le conjugué de de ψ par f-1. Nous obtenons l'inclusion f-1(Fixes(ψ)) ⊂ Fixes(g), c'est-à-dire Fixes(ψ) ⊂ f(Fixes(g)).
Les deux inclusions donnent l'égalité attendue.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 17-07-21 à 10:37

Bonjour matheuxmatou, est-ce que cette démonstration est correcte?

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 18-07-21 à 14:55

Pas de réponse?

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 18-07-21 à 18:23

est-elle vraiment de toi ?

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 18-07-21 à 20:41

eh non, j'ai copié le cours sur les isométries :  

page 21

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 19-07-21 à 13:04

up!

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 19-07-21 à 14:04

c'est pas le tout de copier... faut comprendre aussi !

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 19-07-21 à 14:41

Ben oui j'ai bien compris...

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 19-07-21 à 15:34

bon ben alors rédige une réponse complète au problème que tu posais initialement

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 19-07-21 à 15:57

Si g est une translation, g n'a aucun point fixe, donc f\circ g\circ f^{-1} aussi (puisque Fixes(\psi)=f(Fixes(g))=f(\varnothing)=\varnothing\psi est le conjugué de g par f).
Ensuite, comme g est une translation, c'est une isométrie positive, tout comme \psi (composée avec f et f^{-1} qui donne une isométrie positive parce que ce sont 2 isométries toutes deux positives ou toutes deux négatives.
Sachant qu'une isométrie qui n'a pas de points fixes et qui est positive est une translation, alors \psi est aussi une translation.

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 19-07-21 à 16:04

ok

ensuite

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 19-07-21 à 16:06

et utilisons des lettres plus simple ... disons h pour le conjugué !

et finis de répondre à la question... élément caractéristique de h ?

(d'ailleurs l'énoncé que tu donnes au départ n'a pas beaucoup de sens au niveau des "image par f des éléments caractéristiques de g"...)

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 21-07-21 à 19:13

Si g est une réflexion d'axe \Delta, g a une droite de points fixes, c'est \Delta.
On a : f(Fixes(g))=Fixes(h)
or, f(\Delta)=\Delta' car une isométrie transforme une droite en une droite.
donc Fixes(h)=f(\Delta)=\Delta'

Sachant qu'une isométrie qui a une droite de points fixes et une seule est une réflexion, h est une réflexion.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 21-07-21 à 19:46

Mais au fait, qu'est-ce qu'un élément caractéristique?

Posté par
matheuxmatou
re : principe de conjugaison 21-07-21 à 21:12

ben par exemple pour une rotation c'est un point et un angle... et l'image par f d'un angle, ça n'a pas de sens

pour une rotation c'est un vecteur... et l'image par f (isométrie affine) d'un vecteur, ça n'a pas de sens non plus

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 21-07-21 à 21:25

Effectivement, moi je pensais que ça voulait dire points fixes.

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