Bonjour

a) 0 serait-il un zéro isolé?

b) Montre que est holomorphe malgré les apparences!

a. Je ne comprend pas.

b. Ce ne serait pas plutot f(z)=(1/z)sin(z/2)?

En fait j'ai compris pour le a. je vais y réfléchir.

Pour le a. on doit montrer que f(z)=sin(/(2z)) est ou n'est pas holomorphe non?

Je n'arrive toujours pas à trouver le rapport entre le pricipe des zéros isolés et de l'existence de la fonction.

Bonjour A314116P (Salut Camélia )

Le principe des zéros isolés te dit qu'une fonction holomorphe non nulle sur un ouvert connexe a forcement ces zéros isolés.
Pour la a), regarde ce qui doit se passer pour en 0 d'après le peu d'information que tu as.
Pour le b), tu peux effectivement introduire la fonction .
Constate que et regarde les zéros de .

a. Si on suppose qu'une telle fonction holomorphe f existe alors limf(1/n)=f(lim(1/n))=f(0)=limsin(n/2) ce qui est absurde car sin(n/2) n'a pas de limite en + donc f n'est pas continue en 0 donc certainement pas holomorphe sur donc la réponse à la question est non si mon raisonnement est juste.

b. Les zéros de f-g sont les réels qui s'écrivent sous la forme 1/n mais dans ce cas je ne vois pas comment utiliser le principe des zéros isolés pour prouver l'existence d'une telle fonction.

Vraiment? n'a pas de limite?

Si on a f(0)=f(1/n)=0 pour tout n, comment fait 0 pour être isolé? Sais-tu que signifie isolé?

J'ai pas dit que f(0)=f(1/n)=0 pour tout n. Et quand n tend vers l'infini sin(n/2) tend vers rien du tout il me semble bien.

Tu as raison, je me suis embrouillée! mais tu es d'accord que f(1/2n)=0 pour tout n? Et alors comment il est isolé 0.

Je sais pas si j'ai bien compris mais quand on dit qu'un zéro z₀ d'une fonction f est isolé sa veut dire qu'il existe un voisinage de z₀ tel que f soit non nulle sur ce voisinage. Donc la on remarque que les zéros de f sont les 1/2n pour tout n mais je ne comprend toutjours pas en quoi cela peut prouver l'existence de la fonction. En gros je n'ai pas du tout compris comment utiliser le principe des zéros isolés ns ce genre d'exercice.

Bonjour,
pour rectifier l'idée de Camelia et réussir à conclure, tu peux voir que pour les n=4k+2 ou pour les n=4k, tu as que f(n)=0.
En pratique, il suffit de remarquer que sur n'importe quel voisinage de 0, tu as toujours un 0 de f non nul, donc ça contredit le principe des zéros isolés.

Attention, si pour la b, Camelia te fait remarquer que f(z)=zsin(2pi/z) fonctionne, rien ne dit que pour a, la fonction serait nécessairement sin(2pi/z).

En fait, pour la b on montrer qu'une fonction existe, alors on peut l'exhiber. Pour la a, si ça ne fonctionne pas avec f(z)=sin(2pi/z) c'est peut être parce que tu n'as pas la bonne fonction. Rien ne dit que ça ne fonctionnerait pas avec une autre fonction... et tu n'as pas beaucoup de moyens de le montrer autrement qu'avec le principe des zéros isolés...

Pardon, c'est sin(pi/(2z)) et non sin(2pi/z)

Attention,

pour la b, on montre que si f existe, c'est nécessairement f(z)=zsin(pi/(2z)) par le principe des zéros isolés.

Ensuite, il faut voir si l'énoncé veut vraiment que l'on cherche une fonction entière (ce qui est demandé et la réponse est non) ou si on veut juste qu'elle soit holomorphe sur un voisinage de 0 (ce qu'on a tous pensé et la réponse est oui avec le f que l'on a trouvé).

OK je pense avoir compris pour le a.. Pour le b. ce ne serait pas plutot f(z)=(1/z)sin(z/2) parce que la on a bien la valeur de f(1/n), et effet cette fonction n'est pas entière mais par contre la pour montrer que c'est la seul fonction il faut suivre ce qu'à dit Narhm, parceque je n'est pas très bien compris.

Oui, tu as raison, je me suis basé sur ce que Camélia disait, la bonne fonction est celle proposée par Narhm et dans ce cas, il n'y a plus de problème, elle est bien entière.

Oui en fait la fonction proposée par Narhm est entière si on pose g(z)={(1/z)sin(z/2) pour z*, g(0)=0} non? Et ensuite après on pose la fonction h=f-g et avec f entière qui vérifie la condition f(1/n)=g(1/n) et on suppose que h est non nulle, donc comme les zéros de h sont les 1/n pour tout n, alors sur tout voisinage de 0 on peut trouver un zéro de h non nulle, ce qui contredit le principe des zéros isolés, donc h est nulle on en déduit alors que g est la seule fontion telle f=g, ai-je bien compris?