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proba

Posté par margotte (invité) 03-09-05 à 17:39

Bonjour, pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice j'indique ce que j'ai fait à la fin. merci

On dispose d'une urne contenant deux boules, l'une numérotée 1 , l'autre 2 . On effectue, dans cette urne, une succession de tirages au hasard d'une boule en notant le numéro obtenu, la boule tirée étant remise dans l'urne après chaque tirage.

La suite aléatoire des numéros tirés fournit ainsi une suite (Xn)n£N de variables aléatoires indépendantes,
toutes de même loi vérifiant : P([Xn=1])=P([Xn=2])=1/2
Pour tout entier naturel n non nul, on note Sn =X1 +X2 +...+Xn ; Sn désigne donc la somme des numéros obtenus au cours des n premiers tirages.

Un entier naturel N non nul étant donné, on considère la variable aléatoire TN égale au rang n où, pour la première fois, on a Sn > N .

Par exemple si N=5 et si les premiers numéros tirés sont 2,1, 2,1,1, ... alors T5 prend la valeur 4 . De même, toujours si N = 5 , si les premiers numéros tirés sont 2, 2, 2,1, 2 ,... alors T5 prend la valeur 3 .
PARTIE I : Préliminaires
On considère la suite réelle (wn),n£N définie par la donnée des deux premiers termes, w1 =3/2 , w2 =9/ 4 et, pour tout entier naturél n non nul, par la relation : wn+2 =(1/2) (wn+1 + wn)+1 . Montrer qu'il existe 2 réels a et b tels que la suite (vn ) définie, pour tout entier naturel n non nul,par vn =wn +an+b vérifie une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 et en déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de vn et de wn en fonction de n .
PARTIE Il: Etude de la loi de T N
1) Exemples
a) Donner les lois de T1 et T2 ainsi que leurs espérances et variances.
b) i) Montrer que les valeurs prises par T5 sont 3, 4, 5, 6 et donner le tableau de la loi conjointe de T5 et X1.

ii) Déterminer la loi de T5 , calculer son espérance et sa variance.
iii) Les variables T5 et X1 sont-elles indépendantes? Déterminer la covariance de T5 et X1 . iv) Les variables T5 et X2 sont-elles indépendantes?
2) Calcul de l'espérance de TN
On revient au cas général où N désigne un entier naturel noir nul.
a) i) Déterminer la plus petite et la plus grande valeur prises par TN dans le cas où N est pair (N = 2M).

ii) Déterminer la plus petite et la plus grande valeur prises par TN dans le cas où N est impair (N=2M+1).
b) Soit k un entier naturel non nul. En conditionnant par le résultat du premier tirage, justifier l'égalité suivante : P([TN+2=k])= (1/2) P([TN+1=k-1])+ (1/2) P([TN==k-1)
c) En déduire l'égalité : E(TN+2) =(1/2) (E(TN+1+ E(TN))+1 et en déduire l'expression de l'espérance de TN en fonction de N.
Quelle est la limite de la suite de tenue général E(TN)/N ? Pour quelle raison ce résultat est-il plausible?
3) La loi de TN

On désigne toujours par N un entier naturel non nul.
a) Pour tout entier naturel k non nul, justifier l'égalité : P ([TN > k]) = P([Sk<= N)

On rappelle que Sn =X1 +X2 +...+Xn
b) En déduire l'égalité : P([TN > k]) = P([Zk < =N-k]) où Zk, est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres k et 1/2 .

c) Etablir l'égalité : P ([TN > k ])=(1/2^k)Ck,i On rappelle que le coefficient binomial Ck,i est nul si i>k.
d) En déduire la loi de TN. ( On ne cherchera pas à simplifier l'expression obtenue).

partie 1
pour cette partie je tourne en rond car je n'ai pas de méthode, je sais que l'on doit obtenir Vn+2=aVn+1 +bVn mais le a et b c'est pas le meme que l'énoncé non? Ensuite comme j'ai pas trouvé a et b je ne peux pas donner Vn en fonction de n et pour Wn je vois pas comment faut faire.
Partie 2
pour T1 donc N=1 on peut que avoir comme numéros tirés 2
pour T2 doncN=2 on a 21.. ;12...; 22...; peut etre que je me trompe? mais après comment faire pour calculer leur espérances et variances?
b)i)pour 3, 4 est ce que comme c'est montré dans l'énoncé c'est ok? sinon pour 5 c'est lorsque l'on a 1 1 1 1 2, par contre pour 6 je ne comprends pas??, pour le tableau de la loi conjointe j'y arrive pas...
A partir de la je suis complètement bloquée sur tout le reste, j'ai essayé meme de faire les questions des autres parties mais c'est trop chaud, aider moi svp.
Merci par avance.


Posté par
enzore : proba 03-09-05 à 18:43

Partie II
On va commencer tranquillement.

On te demande la loi de T1 et non pas les valers possibles des tirages....

a) Certes, S1 peut prendre deux valeurs: 1 ou 2. Dans quel cas le résultat du tirage est-il supérieur à 1 (N)? Ce qui correspond à combien de possibilités? Et quels sont les valeurs possibles de T1?
Il te suffit de répondre à ces trois questions pour déterminer la loi de proba!!

Pareil pour T2....

b) Tu peux remarquer que Sn+1 = Sn + a où a(1,2)
Montre que Min S6 > 5 et que Max S3 >5 et c bon!

A+

Posté par margotte (invité)re : proba 03-09-05 à 19:53

alors, pour II1)a) rang du tirage est supéreiur à 1 si Sn<N mais pour la loi, j'arrive pas à la déterminer, pourtant j'ai pris plein d'exemple. Du coup j'ai pas la loi ni pour T1 ni pour T2, ni les espérances et variances.
b)i)min S6>5 donc S6=S5+a>5 et S5>5-a or a=1 ou 2 donc S5>4 ou S5>3 mais après pour S3 ca marche pas et en plus je raisonne pas pour T5?
Au fait "Certes, S1 peut prendre deux valeurs: 1 ou 2" c'est une somme de 1 ou de 2 donc ca peut prendre plus que 2 valeurs non?
voilà aider moi...
pour la partie I ca marche comment?
merci

Posté par
enzore : proba 03-09-05 à 20:23

Margotte je te donne la solution pour T1 et tu devrais ensuite y arriver pour T2. Remarquons tout d'abord qu'il faut un minimum d'un tirage pour que Sn > 1. Remarquons également qu'il suffit de deux tirages pour que Sn > 1. En effet, Min (S2) =2 >1.

Par conséquent, T1 peut prendre deux valeurs: 1 et 2. Il s'agit maintenant de déterminer les probabilités associées à chaque évènement soit:

P[T1=1] et P[T1=2]

Pour cela, recensons les possibilités de Sn pour n<=2.
Pour n=1, Sn a deux possibilités: 1 ou 2.
Pour n=2, Sn a trois possibilités: 2,3,4.

P[T1=1] = P[S1>1] = 1/2
P[T1=2] = P[S2>1] = 1

E[T1] = 1*1/2 + 2*1 = 3/2
V[T1] = 1²*1/2 + 2²*1 = 9/2

Tu devrais y arriver pour T2 maintenant.

b) Min (S6) = Min (S5) + Min (a)
                       = 5 + 1 =6 (>5)

  Max (S3) = Max (S2) + Max(a)
                      = 4 + 2 = 6 (>5)

Posté par margotte (invité)re : proba 03-09-05 à 22:14

je comprends pas pourquoi
P[T1=1] =  1/2
P[T1=2] =  1 (car P(Xn=2)=1/2 ??)
ensuite pour T2 on a comme valeur 2 ou 3 non? mais comme c'est pas encore clair pour T1 j'arrive pas à avoir la loi de T2.
b) pour b on a montré que ca pouvait etre égal à 6, ce que j'ai fait précédemment était bon ?? ensuite pour le tableau de la loi conjointe je ne vois pas...
Puis pour le reste je bloque encore plus.

merci

Posté par
enzore : proba 03-09-05 à 22:36

Effectivement, monstrueuse erreur de ma part!!

La loi de proba de T1 est bien P[T1=1] = 1/2
                                         P[T1=2] = 1/2
L'espérance est donc de 1/2*1 + 1/2*2 = 3/2


Ta réponse est bonne pour T2 . Calcule les probas associées (P[T2=2] et P[T2=3])


Si je comprends bien, pour déterminer la loi conjointe de T5 et X1, il faut que tu détermines la loi de proba de T5 selon la valeur de X1, soit:

                                 P[T5=n|X1=x]

Posté par margotte (invité)re : proba 03-09-05 à 22:44

alors P(T2=2)=1 mais pour P(T2=3) je bloque
après pour la loi conjointe on aura 1 tableau avec en colonne t5 qui prend comme valeur 3 4 5 6 et X1 en ligne qui prend comme valeur 1 ou 2 mais j'arrive pas à déterminer ce qu'il y a dans les cases!
quand j'aurai ce tableau je pourrai en déduire la loi de T5 mais je fais comment?
après pour la suite je sais pas

Posté par
enzore : proba 03-09-05 à 22:51

P(T2=2)=2/3. En effet, n'oublie pas qu'il faut que Sn soit strictement supérieur à N et non supérieur ou égal...

Ce qui donne: P(T2=2)=2/3
              P(T2=3)=1/3

L'espérance vaut donc 2*2/3 + 3*1/3 = 7/3
Je te laisse faire la variance.

Tu as bien compris pour la loi conjointe, sauf que tu peux remarquer que si X1=1, alors T5 prend ses valeurs dans (4,5,6). La loi conjointe sera en quelque sorte une "disjonction de loi" selon la valeur de X1.

Pour le b) ii), tu ne te préoccupes pas de la question précédente.

Posté par
enzore : proba 03-09-05 à 22:58

Je te suggère de construire la tableau des valeurs de Sn en fonction de n:

n     Sn
1     (1,2)
2     (2,3,4)
3     (3,4,5,6)
4     (4,5,6,7,8)
5     (5,6,7,8,9,10)
6     (6,7,8,9,10,11,12)

Il te suffit alors de déterminer our quel rang n, on a Sn>N

Par exemple, ici, tu vois bien que T5 n'est possible qu'à partir de n=3 et que T5 est sûr pour n=6.
Pour la loi conjointe, construit ce même tableau pour Sn=1 et Sn=2 lorsque n=1.

Posté par margotte (invité)re : proba 04-09-05 à 11:21

je n'ai toujours pas trouvé la loi conjointe de T5 et X1, j'y arrive pas malgré tes explications. Pour la loi de T5 il faut que je calcule P(T5=3) et P(T5=4) P(T5=5) et P(T5=6) mais je ne trouve pas la loi et donc ni l'espérance ni la variance... Je bloque toujours sur 1) iii) iv) sur toute la partie 2 et 3 sans oublier la partie 1 qui me fait tourner en bourrique!
Encore merci

Posté par
enzore : proba 04-09-05 à 13:08

Loi conjointe:

Supposons X1=1, alors les valeurs possibles de Sn sont:

n    Sn
1     1  (car X1=1)
2     (2,3)
3     (3,4,5)
4     (4,5,6,7)
5     (5,6,7,8,9)
6     (6,7,8,9,10,11)

Cherchons P[T5=4], P[T5=5], P[T5=6]

P[T5=4] = 2/4 = 1/2 (au rang 4: 2 possibilités sur les quatres d'etre S4>5)
P[T5=5] = 4/5 - 1/2 = 6/20(au rang 5: 4 possibiltés sur cinq que S5>5. Mais il ne faut pas oublier de soustraire la probabilité que T5=4).
P[T5=6] = 1 - 6/20 - 1/2 = 4/20 (au rang 6: 6 possibilités sur 6 que S6>5. On soustrait P[T5=5] et aussi P[T5=4])

La loi de T5|X1=1 est donc:

                      4        5       6
L(T5|X1=1)=
                   10/20   6/20   4/20

Pour l'espérance et la variance, il suffit d'appliquer les formules.
Tu effectues la même démarche pour T5|X1=2., sauf qu'au rang n=1, tu as Sn=2
Pour la loi de T5, c'est encore la même démarche, mais cette fois au rang n=1, tu as deux possibilités Sn=1 ou Sn=2.

Posté par margotte (invité)re : proba 04-09-05 à 17:54

alors d'abord merci beaucoup de bien vouloir m'aider mais malgré tes explications j'arrive pas à faire  T5|X1=2 je vois pas ce que ca change avec au rang n=1 Sn=2
après pour la loi de T5 je suis encore plus perdue en plus il y a une nouvelle possibilité, il est vraiment super dur cet exo...
et pour toute la suite c'est encore pire!

Posté par
enzore : proba 04-09-05 à 18:01

As-tu construit le tableau n/Sn pour X=2. C'est le même que celui que j'ai fais plus haut sauf qu'aul lieu d'avoir 1 pour n=1, tu as 2. Je fais le début:

n      Sn
1      2
2      (3,4)
3      (4,5,6)
.....


Pour la loi de T5:
n      Sn
1      (1,2)
2      (2,3,4)
3      (3,4,5,6)
.....

C'est pas super compliqué jusaue là....

Posté par margotte (invité)re : proba 04-09-05 à 18:22

n      Sn
1      2
2      (3,4)
3      (4,5,6)
4      (5,6,7,8)
5      (6,7,8,9,10)
6      (7,8,9,10,11,12)
alors si j'ai compris n    P(T5=4)=1/3-3/4 et P(T5=3)=1/3
P(T5=5)=5/5-1/3+3/4
P(T5=6)=6/6-5/5+1/3+3/4
dis moi si c'est ca?
ensuite pour la loi de T5
n      Sn
1      (1,2)
2      (2,3,4)
3      (3,4,5,6)
4      (4,5,6,7,8)
5      (5,6,7,8,9,10)
6      (6,7,8,9,10,11,12)
alorsP(T5=3)=1/4
P(T5=4)=-1/4+3/5
P(T5=5)=+1/4-3/5+5/6
P(T5=6)=-1/4+3/5-5/6+1
voilà j'espère que c'est ca après pour l'espérance et la variance c ok.
ensuite je bloque pour b)iii) et b)iv
et le 2) et le 3) puis la partie 1 bien sur!
Encore merci

Posté par
enzore : proba 04-09-05 à 18:28

C'est exactement ça!

Posté par
enzore : proba 04-09-05 à 18:33

Maintenant,

- Comment démontrer que deux variables sont indépendantes?
- Comment calculer la covariance?

Posté par margotte (invité)re : proba 04-09-05 à 19:08

je ne m'en souviens plus pour l'indépendance et pour la formule de la covariance j'arrive pas à la retrouver...

Posté par margotte (invité)re : proba 04-09-05 à 22:24

est ce que tu peux m'aider?? encore merci

Posté par
enzore : proba 05-09-05 à 02:12

Deux variables sont indépendantes si leur rapport de corrélation (et non coefficient de corrélation) est nul.

Le rapport de corrélation est donné par la formule:

           ² = var inter/ var totale


var intra = Var(T5|X1=1) + Var (T5|X1=2)
var totale = Var(T5)
var inter = Var(T5) - [Var (T5|X1=1) + Var (T5|X2=2)]
(var totale = var inter + var intra)

Donc ² = ....

A mon avis, si tu cherches bien, tu dois pouvoir trouver la formule de la covariance...

Posté par
enzore : proba 05-09-05 à 02:38

2) a) i) C'est simple.

Sn est minimale (TN maximal) si le résultat à chaque tirage vaut 1. Dans ce cas, il faut (N+1)/1 tirages pour réaliser TN. Que N soit pair ou impair, TN <= N+1

Sn est maximale (TN minimal) si on obtient 2 à chaque tirage.

Cas N pair:
Si N est pair, alors N/2. Dans ce cas,

                       N/2+1 <= TN <= N+1

Cas N impair:
Si N est impair, alors N/2 n'existe pas dans . Il faut alors N/2+1/2 Dans ce cas,

                     (N+1)/2 <= TN <= N+1

Posté par margotte (invité)re : proba 05-09-05 à 18:34

d'abord merci beaucoup, pour l'indépendance, je n'ai jamais vu cette formule tout du moins pas encore, je vais rechercher la méthode de l'an dernier et par la meme occasion retrouvée la formule de la covariance, quand j'aurai fait tout ça je mettrai ma réponse sur le forum.
Pour N pair N impair j'ai compris, en fait je me complique la vie...
après pour 2b)c) 3)a)b)c)d) si tu pouvais me donner un petit coup de pouce car je tourne en rond.

Encore merci

Posté par
enzore : proba 06-09-05 à 15:25

Salut margotte,

Tout d'abord:
La calcul du rapport de corrélation n'était pas obligatoire, tu pouvais simplement remarquer que:

L[T5|X1=1]L[T5|X1=2]. En effet, si deux variables X et Y sont indépendantes alors:

Quelque soit i,j , ij alors P[Y=y|X=xi]=P[Y=y|X=xj]

Ensuite:
J'ai vraiment beaucoup de boulot cette semaine, je sais pas si je serais bien dispo....

Je verrais ce que je peux faire...si qqun peut prendre la relève en même temps...

Posté par margotte (invité)re : proba 06-09-05 à 18:38

merci encore, quelqu'un peut il m'aider à partir de 2b)??

Posté par margotte (invité)re : proba 06-09-05 à 22:44

Bonsoir, je suis toujours autant bloquée sur cet exo et j'aurai besoin de votre aide voici les questions pour lesquelles je ne trouve pas de réponse, pouvez vous m'aider?


PARTIE I : Préliminaires
On considère la suite réelle (wn),n£N définie par la donnée des deux premiers termes, w1 =3/2 , w2 =9/ 4 et, pour tout entier naturél n non nul, par la relation : wn+2 =(1/2) (wn+1 + wn)+1 . Montrer qu'il existe 2 réels a et b tels que la suite (vn ) définie, pour tout entier naturel n non nul,par vn =wn +an+b vérifie une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 et en déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de vn et de wn en fonction de n .

partie2

b) Soit k un entier naturel non nul. En conditionnant par le résultat du premier tirage, justifier l'égalité suivante : P([TN+2=k])= (1/2) P([TN+1=k-1])+ (1/2) P([TN==k-1)
c) En déduire l'égalité : E(TN+2) =(1/2) (E(TN+1+ E(TN))+1 et en déduire l'expression de l'espérance de TN en fonction de N.
Quelle est la limite de la suite de tenue général E(TN)/N ? Pour quelle raison ce résultat est-il plausible?
3) La loi de TN

On désigne toujours par N un entier naturel non nul.
a) Pour tout entier naturel k non nul, justifier l'égalité : P ([TN > k]) = P([Sk<= N)

On rappelle que Sn =X1 +X2 +...+Xn
b) En déduire l'égalité : P([TN > k]) = P([Zk < =N-k]) où Zk, est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres k et 1/2 .

c) Etablir l'égalité : P ([TN > k ])=(1/2^k)Ck,i On rappelle que le coefficient binomial Ck,i est nul si i>k.
d) En déduire la loi de TN. ( On ne cherchera pas à simplifier l'expression obtenue).

encore merci

Posté par margotte (invité)re : proba 07-09-05 à 20:42

malgré mes efforts je reste bloquée pour les questions précédentes!

Posté par margotte (invité)re : proba 10-09-05 à 13:57

y a t'il quelqu'un de disponible pour m'aider pour les questions précédentes?

Posté par margotte (invité)re : proba 10-09-05 à 18:19

j'ai encore passé l'après midi à chercher les questions précentes mais je suis bloquée y a t il quelqu'un qui puisse m'aider?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba 10-09-05 à 19:58

Bonjour,

PARTIE I : Préliminaires

Cette partie ne nécessite pas de "chercher". C'est une application directe du cours.

On pose :
\fbox{v_n=w_n+an+b}

v_{n+2}=w_{n+2}+a(n+2)+b
=\frac{1}{2}(w_{n+1}+w_n)+a(n+2)+b+1
=\frac{1}{2}(v_{n+1}-a(n+1)-b+v_n-an-b)+a(n+2)+b+1
=\frac{1}{2}v_{n+1}+\frac{1}{2}v_n-an-b-\frac{a}{2}+an+2a+b+1
=\frac{1}{2}v_{n+1}+\frac{1}{2}v_n+(1+\frac{3a}{2})

Pour que (v_n) soit une suite récurrente linéaire d'ordre 2, il faut annuler le dernier terme, c'est-à-dire prendre a=-\frac{2}{3}, et b quelconque. Prenons b=0.

Alors
\fbox{w_n=v_n+\frac{2}{3}n}
\fbox{v_{n+2}=\frac{1}{2}v_{n+1}+\frac{1}{2}v_n}

Les racines de l'équation caractéristique de (v_n) sont 1 et -1/2.
On cherche donc \lambda et \mu tels que :
v_n=\lambda+\mu(-\frac{1}{2})^n
Or
v_1=w_1-\frac{2}{3}=\frac{5}{6} donc \lambda-\frac{\mu}{2}=\frac{5}{6}
v_2=w_2-\frac{4}{3}=\frac{11}{12} donc \lambda+\frac{\mu}{4}=\frac{11}{12}
On résoud ce système de 2 équations à 2 inconnues, et on obtient :
\lambda=\frac{8}{9} et \mu=\frac{1}{9}

Donc :
\fbox{v_n=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}(-\frac{1}{2})^n}
\fbox{w_n=\frac{8}{9}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}(-\frac{1}{2})^n}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par margotte (invité)re : proba 10-09-05 à 20:10

merci beaucoup encore une fois nico je vais voir ou je me plantais.
par contre si quelqu'un pouvait m'aider pour la suite de l'exo voici les questions ou je bloque:encore merci
partie2

b) Soit k un entier naturel non nul. En conditionnant par le résultat du premier tirage, justifier l'égalité suivante : P([TN+2=k])= (1/2) P([TN+1=k-1])+ (1/2) P([TN==k-1)
c) En déduire l'égalité : E(TN+2) =(1/2) (E(TN+1+ E(TN))+1 et en déduire l'expression de l'espérance de TN en fonction de N.
Quelle est la limite de la suite de tenue général E(TN)/N ? Pour quelle raison ce résultat est-il plausible?
3) La loi de TN

On désigne toujours par N un entier naturel non nul.
a) Pour tout entier naturel k non nul, justifier l'égalité : P ([TN > k]) = P([Sk<= N)

On rappelle que Sn =X1 +X2 +...+Xn
b) En déduire l'égalité : P([TN > k]) = P([Zk < =N-k]) où Zk, est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres k et 1/2 .

c) Etablir l'égalité : P ([TN > k ])=(1/2^k)Ck,i On rappelle que le coefficient binomial Ck,i est nul si i>k.
d) En déduire la loi de TN. ( On ne cherchera pas à simplifier l'expression obtenue).

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba 11-09-05 à 08:48

Bonjour,

Pour info :
- recherche des réponses au brouillon : 1h
- rédaction de la réponse sous LaTeX : 1h30

Nicolas

On dispose d'une urne contenant deux boules, l'une numérotée 1 , l'autre 2 . On effectue, dans cette urne, une succession de tirages au hasard d'une boule en notant le numéro obtenu, la boule tirée étant remise dans l'urne après chaque tirage.

La suite aléatoire des numéros tirés fournit ainsi une suite (Xn)n£N de variables aléatoires indépendantes,
toutes de même loi vérifiant : P([Xn=1])=P([Xn=2])=1/2
Pour tout entier naturel n non nul, on note Sn =X1 +X2 +...+Xn ; Sn désigne donc la somme des numéros obtenus au cours des n premiers tirages.

Un entier naturel N non nul étant donné, on considère la variable aléatoire TN égale au rang n où, pour la première fois, on a Sn > N .

Par exemple si N=5 et si les premiers numéros tirés sont 2,1, 2,1,1, ... alors T5 prend la valeur 4 . De même, toujours si N = 5 , si les premiers numéros tirés sont 2, 2, 2,1, 2 ,... alors T5 prend la valeur 3 .

PARTIE I : Préliminaires
On considère la suite réelle (wn),n£N définie par la donnée des deux premiers termes, w1 =3/2 , w2 =9/ 4 et, pour tout entier naturél n non nul, par la relation : wn+2 =(1/2) (wn+1 + wn)+1 . Montrer qu'il existe 2 réels a et b tels que la suite (vn ) définie, pour tout entier naturel n non nul,par vn =wn +an+b vérifie une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 et en déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de vn et de wn en fonction de n .

Fait ci-dessus.

PARTIE Il: Etude de la loi de T N
1) Exemples
a) Donner les lois de T1 et T2 ainsi que leurs espérances et variances.

Loi de T_1

La façon la plus lente de dépasser strictement 1 est "1, 1ou2" en 2 coups.
La façon la plus rapide de dépasser strictement 1 est "2" en 1 coup
Donc 1\le T_1\le 2

\mathbb{P}(T_1=1)=\mathbb{P}(X_1=1\quad ou\quad X_2=1ou2)=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}
\mathbb{P}(T_1=2)=\mathbb{P}(X_1=2)=\frac{1}{2}
\mathbb{E}(T_1)=\frac{3}{2}
\mathbb{V}(T_1)=\frac{1}{4}

Loi de T_2

La façon la plus lente de dépasser strictement 2 est "1, 1, 1ou2" en 3 coups.
La façon la plus rapide de dépasser strictement 2 est "2, 1ou2" en 2 coups
Donc 2\le T_2\le 3

Séquences possibles pour dépasser strictement 2 :
1 1 1ou2 : T_2=3
1 2 : T_2=2
2 1ou2 : T_2=2
\mathbb{P}(T_2=2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}
\mathbb{P}(T_2=3)=\frac{1}{4}
\mathbb{E}(T_2)=...=\frac{9}{4}
\mathbb{V}(T_2)=...

b) i) Montrer que les valeurs prises par T5 sont 3, 4, 5, 6

La façon la plus lente de dépasser strictement 5 est 1 1 1 1 1 1ou2 en 6 coups
La façon la plus rapide de dépasser strictement 5 est 2 2 2 en 3 coups
Donc 3\le T_5\le 6

et donner le tableau de la loi conjointe de T5 et X1.

Je ne suis pas trop d'accord avec les messages précédents. Sauf erreur, la loi conjointe nécessite de trouver \mathbb{P}(T_5=i\quad et \quad X_1=j) et non pas avec des "sachant que".

Séquences commençant par un 1 et dépassant strictement 5:
1 1 1 1 1 1ou2 : probabilité (\frac{1}{2})^5 en 6 coups
1 1 1 1 2 : probabilité (\frac{1}{2})^5 en 5 coups
1 1 1 2 1ou2 : probabilité (\frac{1}{2})^4 en 5 coups
1 1 2 1 1ou2 : probabilité (\frac{1}{2})^4 en 5 coups
1 1 2 2 : probabilité (\frac{1}{2})^4 en 4 coups
1 2 1 2 : probabilité (\frac{1}{2})^4 en 4 coups
1 2 1 1 1ou2 : probabilité (\frac{1}{2})^4 en 5 coups
1 2 2 1ou2 : probabilité (\frac{1}{2})^3 en 4 coups

Séquences commençant par un 2 et dépassant strictement 5:
2 1 1 1 1ou2 : probabilité (\frac{1}{2})^4 en 5 coups
2 1 1 2 : probabilité (\frac{1}{2})^4 en 4 coups
2 1 2 1ou2 : probabilité (\frac{1}{2})^3 en 4 coups
2 2 1 1ou2 : probabilité (\frac{1}{2})^3 en 4 coups
2 2 2 : probabilité (\frac{1}{2})^3 en 3 coups

D'où la loi conjointe :
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline\quad &T_5=3&T_5=4&T_5=5&T_5=6\\\hline X_1=1&0&\frac{1}{4}&\frac{7}{32}&\frac{1}{32}\\\hline X_2=2&\frac{1}{8}&\frac{5}{16}&\frac{1}{16}&0\\\hline\end{tabular}

ii) Déterminer la loi de T5 , calculer son espérance et sa variance.

\{\{X_1=1\},\{X_1=2\}\} étant un système complet d'événements, on a :
\mathbb{P}(T_5=3)=\mathbb{P}(T_5=3\quad et\quad X_1=1)+\mathbb{P}(T_5=3\quad et\quad X_1=2)=0+\frac{1}{8}=\frac{1}{8}

De même,
\mathbb{P}(T_5=4)=\frac{9}{16}
\mathbb{P}(T_5=5)=\frac{9}{32}
\mathbb{P}(T_5=6)=\frac{1}{32}

\mathbb{E}(T_5)=\frac{135}{32}
\mathbb{V}(T_5)=...

iii) Les variables T5 et X1 sont-elles indépendantes?

Si elles l'étaient, on aurait :
\mathbb{P}(T_5=5\quad et\quad X_1=1)=\mathbb{P}(T_5=5).\mathbb{P}(X_1=1)
Or \mathbb{P}(T_5=5\quad et\quad X_1=1)=\frac{7}{32} et \mathbb{P}(T_5=5).\mathbb{P}(X_1=1)=\frac{9}{32}.\frac{1}{2}=\frac{9}{64}

Déterminer la covariance de T5 et X1

Au choix :
cov(T_5,X_1)=\mathbb{E}(T_5X_1)-\mathbb{E}(T_5)\mathbb{E}(X_1)
cov(T_5,X_1)=\mathbb{E}((T_5-\mathbb{E}(T_5))(X_1-\mathbb{E}(X_1)))

iv) Les variables T5 et X2 sont-elles indépendantes?

...

2) Calcul de l'espérance de TN
On revient au cas général où N désigne un entier naturel noir nul.

a) i) Déterminer la plus petite et la plus grande valeur prises par TN dans le cas où N est pair (N = 2M).

La façon la plus lente de dépasser strictement N est 1 1 ... 1 1ou2 avec N "1" en N+1 coups
La façon la plus rapide de dépasser strictement N est 2 ... 2 1ou2 avec N/2 "2" en N/2+1 coups
\fbox{\textrm{si N pair, }\frac{N}{2}+1\le T_n\le N+1}

ii) Déterminer la plus petite et la plus grande valeur prises par TN dans le cas où N est impair (N=2M+1).

La façon la plus lente de dépasser strictement N est 1 1 ... 1 1ou2 avec N "1" en N+1 coups
La façon la plus rapide de dépasser strictement N est 2 ... 2 2 avec (N+1)/2 "2" en (N+1)/2 coups
\fbox{\textrm{si N impair, }\frac{N+1}{2}\le T_n\le N+1}

b) Soit k un entier naturel non nul. En conditionnant par le résultat du premier tirage, justifier l'égalité suivante : P([TN+2=k])= (1/2) P([TN+1=k-1])+ (1/2) P([TN==k-1)

\{\{X_1=1\},\{X_1=2\}\} étant un système complet d'événements, donc :
\mathbb{P}(T_{N+2}=k)=\mathbb{P}(T_{N+2}=k/X_1=1).\mathbb{P}(X_1=1)+\mathbb{P}(T_{N+2}=k/X_1=2).\mathbb{P}(X_1=2)

Or \mathbb{P}(T_{N+2}=k/X_1=1)=\mathbb{P}(T_{N+1}=k-1). En effet, c'est comme si on commençait la partie au 2ème coup : on veut alors atteindre (N+2)-1=N+1 en k-1 coups.

De même \mathbb{P}(T_{N+2}=k/X_2=1)=\mathbb{P}(T_{N}=k-1). En effet, c'est comme si on commençait la partie au 2ème coup : on veut alors atteindre (N+2)-2=N en k-1 coups.

Donc :
\fbox{\mathbb{P}(T_{N+2}=k)=\frac{1}{2}\mathbb{P}(T_{N+1}=k-1)+\frac{1}{2}\mathbb{P}(T_{N}=k-1)}

c) En déduire l'égalité : E(TN+2) =(1/2) (E(TN+1+ E(TN))+1

\mathbb{E}(T_{N+2})=\bigsum_{k=-\infty}^{+\infty}k.\mathbb{P}(T_{n+2}=k)
=\bigsum_{k=-\infty}^{+\infty} k.[\frac{1}{2}\mathbb{P}(T_{N+1}=k-1)+\frac{1}{2}\mathbb{P}(T_{N}=k-1)]
=\frac{1}{2}\bigsum_{k=-\infty}^{+\infty}k.\mathbb{P}(T_{N+1}=k-1)+\frac{1}{2}\bigsum_{k=-\infty}^{+\infty}k.\mathbb{P}(T_{N}=k-1)
=\frac{1}{2}\bigsum_{k=-\infty}^{+\infty}(k+1)\mathbb{P}(T_{N+1}=k)+\frac{1}{2}\bigsum_{k=-\infty}^{+\infty}(k+1)\mathbb{P}(T_{N}=k)
=\frac{1}{2}\bigsum_{k=-\infty}^{+\infty}k.\mathbb{P}(T_{N+1}=k)+\frac{1}{2}\bigsum_{k=-\infty}^{+\infty}k.\mathbb{P}(T_{N}=k)+\frac{1}{2}\bigsum_{k=-\infty}^{+\infty}\mathbb{P}(T_{N+1}=k)+\frac{1}{2}\bigsum_{k=-\infty}^{+\infty}\mathbb{P}(T_{N}=k)
=\frac{1}{2}\mathbb{E}(T_{N+1})+\frac{1}{2}\mathbb{E}(T_{N})+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}

\fbox{\mathbb{E}(T_{N+2})=\frac{1}{2}\mathbb{E}(T_{N+1})+\frac{1}{2}\mathbb{E}(T_{N})+1}

et en déduire l'expression de l'espérance de TN en fonction de N.

La relation de récurrence est la même que celle de la partie 1.
Et on a vu que :
\mathbb{E}(T_1)=\frac{3}{2}
\mathbb{E}(T_2)=\frac{9}{4}

Donc :
\fbox{\mathbb{E}(T_N)=\frac{8}{9}+\frac{2}{3}N+\frac{1}{9}(-\frac{1}{2})^N}

Quelle est la limite de la suite de tenue général E(TN)/N ?

\fbox{\lim_{N\to +\infty}\frac{\mathbb{E}(T_N)}{N}=\frac{2}{3}}

Pour quelle raison ce résultat est-il plausible?

...

3) La loi de TN
On désigne toujours par N un entier naturel non nul.

a) Pour tout entier naturel k non nul, justifier l'égalité : P ([TN > k]) = P([Sk<= N)

T_N>k \Leftrightarrow au coup k, on a toujours S_k\le N
Donc :
\fbox{\mathbb{P}(T_N>k)=\mathbb{P}(S_k\le N)}

On rappelle que Sn =X1 +X2 +...+Xn
b) En déduire l'égalité : P([TN > k]) = P([Zk < =N-k]) où Zk, est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres k et 1/2 .

\mathbb{P}(T_N>k)=\mathbb{P}(S_k\le N}=\mathbb{P}(S_k-k\le N-k}

Or X_i-1 est une variable de Bernoulli.
Donc \bigsum_{i=1}^k(X_i-1)=S_k-k suit une loi binomiale de paramètres k et 1/2

Donc :
\fbox{\mathbb{P}(T_N>k)=\mathbb{P}(Z_k\le N-k)}
où Z_k est est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres k et 1/2

c) Etablir l'égalité : P ([TN > k ])=(1/2^k)Ck,i On rappelle que le coefficient binomial Ck,i est nul si i>k.
(énoncé incomplet : où sont les bornes de la somme ?)

\mathbb{P}(T_N>k)=\mathbb{P}(Z_k\le N-k)
=\bigsum_{i=0}^{N-k}\mathbb{P}(Z_k=i)
=\bigsum_{i=0}^{N-k}{k \choose i}(\frac{1}{2})^i(\frac{1}{2})^{k-i}

\fbox{\mathbb{P}(T_N>k)=(\frac{1}{2})^k\bigsum_{i=0}^{N-k}{k \choose i}}

Vérification sur un exemple :
\mathbb{P}(T_5>4)=(\frac{1}{2})^4\bigsum_{i=0}^{1}{4 \choose i}=\frac{1+4}{2^4}=\frac{5}{16}
Ceci correspond aux résultats calculés directement dans une question précédente :
\mathbb{P}(T_5>4)=\mathbb{P}(T_5=5)+\mathbb{P}(T_5=6)=\frac{9}{32}+\frac{1}{32}=\frac{5}{16}

d) En déduire la loi de TN. ( On ne cherchera pas à simplifier l'expression obtenue).

\mathbb{P}(T_n=k)=\mathbb{P}(T_n>k-1)-\mathbb{P}(T_n>k)=...

Posté par margotte (invité)re : proba 11-09-05 à 11:30

Bonjour nicolas,
je ne sais pas comment te remercier à nouveau pour ton investissement personnel, ça fait déjà plusieurs fois que tu m'aides et je te remercie énormément. (je te laisse mon email robsjoey@yahoo.fr, car j'aurai aimé te faire parvenir un petit quelquechose pour tout le temps que tu me consacres). En attendant, je vais réfléchir à tout ça tranquillement et au besoin je te ferai savoir ce qui me bloque. Encore un grand grand merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba 11-09-05 à 12:02


Je t'en prie.

Je l'ai fait avec plaisir, car je suis un fana des probas, tout comme de la trigonométrie (cf. Polynome, où tu n'avais d'ailleurs pas réagi à mes derniers messages : tu t'en es sortie ?).

Comme tu le sais, cela n'a de sens que si tu étudies maintenant tout cela à fond, et que tu le refais toi-même. Le jour du concours, tu seras seule. Si cela bloque, ne poste pas tout de suite, et étudie bien la question qui pose problème. Je pense que mes explications ci-dessus sont claires. Certes, j'ai de temps en temps volontairement oublié 1 ou 2 lignes intermédiaires, mais avec de la concentration, du recul et la maîtrise de ton cours, cela devrait aller.

Bien sûr, si tu es vraiment bloquée, n'hésite pas à poster.

Nicolas

Posté par margotte (invité)re : proba 11-09-05 à 12:19

pour la trigo si je n'ai pas réagi c'est parce que j'ai bien compris tes explications, j'ai réussi à tout refaire par moi-même donc je pense avoir compris.
Encore merci, cet après midi, je reprends cet exo de proba.
Encore merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba 11-09-05 à 12:21

Je t'en prie.
En raison du décalage horaire, je ne serai plus disponible à partir de 18h, heure française.

Posté par margotte (invité)re : proba 15-09-05 à 21:28

Bonjour, désolé mais je n'ai pas eu le temps de regarder à fond cet exercice avant ce soir, alors il me reste deux petites questions sur lesquelles je bloque encore, pourrais tu m'aider?
il s'agit de la question c) de la 2) avec les sommes infinies, je n'ai jamais vu de somme sur les infinis et j'aimerai savoir s'il existe une autre méthode.
Sinon pour la toute dernière question j'ai P(Tn=k)=(1/2)^(k-1)sum(k-1,i), i=0:N-K-1 -(1/2)^k sum(k,i) ,i=0:N-k
mais je n'arrive pas à simplifier quelle est la méthode?
Encore merci


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