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proba et informatique (pascal)

Posté par Liloue (invité) 25-08-05 à 17:30

voilà un petite question sympathique.... moi je suis nulle en info mais bon si ca vous tente !
u+d+t=b

une urne contient b boules : u boules portent le numéro 1
                             d -------------------------2
                             t -------------------------3
une expérience consiste en n tirages successifs d'une boule dans l'urne avec remise. a chaque tirage toutes les boules ont la meme proba d'etre tirées.
espace probabilisé : (, T, P) avec
={1,2,3}^n
T : tribu des parties de
P : probabilité se deduisant des données.

simulation informatique :
procedure simulation (var x,y,z : integer ; n : integer) ;
var k, r : integer ;
begin
    x:=0 ; y:=x ; z:=x ;
    for k:=1 to n do
      begin
        r := random(6) ;
        if r=0 then x:=x+1 else if r<=2 then y:=y+1 else z:=z+1
      end
end;

QUESTION : que realise l'instruction simulation (a,b,c 12) les variables Pascal a b et c etant toues trois de type integer ? (on demande une réponse en rapport avec l'expérience précédemment étudiée et en particulier que soient précisées les valeurs des paramètres u, d, t et n)

Posté par jmix90 (invité)re : proba et informatique (pascal) 25-08-05 à 17:35

Bonjour,

simulation (a,b,c 12) réalise 12 tirage au sort aprmis 6 choix: "r := random(6) ;" . IL tire donc un numero entre 0 et 6.

Si ce num est 0 alors on incremente x de 1
Si ce num est compris entre 1 et 2(compris) alors on incremente y de 1
Si ce num est compris entre 2 et 6 alors on incremente z de 1



Voila

Posté par jmix90 (invité)re : proba et informatique (pascal) 25-08-05 à 17:40

ici a=x, b=y et c=z ... Mais ca les mets a zero au debut ???(x:=0 ; y:=x ; z:=x

Posté par Liloue (invité)re : proba et informatique (pascal) 26-08-05 à 11:22

ouai mais le problème c'est qu'il faut lié le programme avc l'expérience....

le programme réaliserai 12 tirage dans une urnes contenant 6 boules (numérotées de 0 à 5)
si on tire un 0 alors on rajoute 1 à quoi ???

Posté par jmix90 (invité)re : proba et informatique (pascal) 26-08-05 à 12:00

on ajoute 1 a x, je l'ai marqué plus haut...

Posté par Liloue (invité)re : proba et informatique (pascal) 26-08-05 à 12:52

ouai mais x ca correspod a quoi au nivo du problème probabiliste ? une urne ? les boules numérotées un ?

Posté par jmix90 (invité)re : proba et informatique (pascal) 26-08-05 à 13:36

le nombre de boule numerotés 0 tirés... (mais je suis nul en proba, j'en ai pas fait depuis un an !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba et informatique (pascal) 26-08-05 à 15:37

Je comprends le tirage ainsi :
- n est le nombre de tirage
- x est le nombre de boules "1" tirées au total pendant ces n tirages (par exemple)
- y est le nombre de boules "2" tirées au total pendant ces n tirages
- z est le nombre de boules "3" tirées au total pendant ces n tirages

A chaque tirage, r est un nombre au hasard entre 0 et 6

Si r=0, c'est-à-dire avec une probabilité 1/7, on dit que c'est une boule "1" qui a été tirée, donc on incrémente x de 1
Si r=1 ou 2, c'est-à-dire avec une probabilité 2/7, on dit que c'est une boule "2" qui a été tirée, donc on incrémente y de 1
Si r est plus grand que 3, c'est-à-dire avec une probabilité 4/7, on dit que c'est une boule "3" qui a été tirée, donc on incrémente z de 1

A la fin des n tirages, x, y et z représentent bien le nombre de boules "1", "2", et "3" tirées.

Les probabilités sont donc cachées dans le programme.
Cela nous renseigne sur le lien entre u d t et n
u/n = 1/7
d/n = 2/7
t/n = 4/7

Sauf erreur.

Nicolas




Posté par Liloue (invité)re : proba et informatique (pascal) 26-08-05 à 16:03

ok merci de ton aide !
tout en sachant que randomize(n) tire un nombreentre 0 et n-1, on aurait donc
u/n=1/6 etc...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba et informatique (pascal) 26-08-05 à 16:06

Dans ce cas, oui, en effet.

Posté par Liloue (invité)re : proba et informatique (pascal) 27-08-05 à 10:48

je vous donne donc la suite, c'est des probas mais cest pour eviter de multiplier des topics

U : variable aléatoire defini sur l'espace probabilisé donné ci-dessus dont la valeur est le nombre de boules 1 tirées au cours de l'expérience.

D : varaibale aléatoire ------------ boules 2 ------------

T : varaible aléatoire -------------- boule 3 ------------

Calculez P([U=k][D=l])

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba et informatique (pascal) 27-08-05 à 13:39

Cela me semble un peu en rapport avec ton autre topic :
Dénombrementhttps://www.ilemaths.net/sujet-denombrement-43652.html

J'aurais tendance à proposer :
\({n\\k}\) \({n-k\\l}\) (\frac{u}{b})^k (\frac{d}{b})^l (\frac{t}{b})^{n-k-l}

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba et informatique (pascal) 27-08-05 à 13:45

... à condition bien sûr que :
0\le k \le u
0 \le l \le d
0\le n-k-l \le t
Sinon, la probabilité cherchée est nulle.

Posté par Liloue (invité)re : proba et informatique (pascal) 27-08-05 à 14:02

oui c'est dans la continuité.

comment tu as trouvé ca ?

moi je trouve presque la meme chose sauf que le denominateur est le même pour tous b^n

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba et informatique (pascal) 27-08-05 à 18:49

Je t'avoue que je n'y vois plus 100% clair, après une soirée sympathique entre amis (décalage horaire). J'aurais maintenant tendance à proposer :
\({n\\k}\)\({n-k\\l}\)\frac{\frac{u!}{(u-k)!}\frac{d!}{(d-l)!}\frac{t!}{(t-(n-k-l))!}}{n!}

Nicolas

Posté par Liloue (invité)re : proba et informatique (pascal) 27-08-05 à 20:26

ouh...c'est moi qui n'y voi plus clair.....

tu veu bien me detailler un peu tes calculs stp ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba et informatique (pascal) 28-08-05 à 05:28

Je me suis trompé. J'ai raisonné pour un tirage sans remise. Je mets cela au propre dans ce message, avant de réfléchir au tirage avec remise.

On suppose donc un tirage sans remise.

Supposons qu'on tire k "1" puis l "2" puis (n-k-l) "3".
On suppose les inégalités d'un post précédent, sinon la probabilité est nulle.

a) probabilité de tirer k "1" pour commencer :
\frac{u(u-1)...(u-k+1)}{b(b-1)...(b-k+1)}=\frac{\frac{u!}{(u-k)!}}{b(b-1)...(b-k+1)}

b) on devra multiplier par la probabilité de tirer ensuite l "2" :
\frac{d(d-1)...(d-l+1)}{(b-k)...(b-k-l+1)}=\frac{\frac{d!}{(d-l)!}}{(b-k)...(b-k-l+1)}

c) on devra ensuite multiplier par la probabilité de tirer ensuite n-k-l "3" :
\frac{t(t-1)...(t-(n-k-l)+1)}{(b-k-l)...(b-k-l-(n-k-l)+1)}=\frac{\frac{t!}{(t-(n-k-l))!}}{(b-k-l)...(b-n+1)}

d) en multipliant, on obtient :
\frac{\frac{u!}{(u-k)!}\frac{d!}{(d-l)!}\frac{t!}{(t-(n-k-l))!}}{b...(b-n+1)}=\frac{\frac{u!}{(u-k)!}\frac{d!}{(d-l)!}\frac{t!}{(t-(n-k-l))!}}{\frac{b!}{(b-n)!}}

Remarque : quel que soit l'ordre choisi pour le calcul (on aurait pu prendre les "3" puis les "1" puis les "2"), le dénominateur aurait été le même.

e) Reste à multiplier par le nombre de possibilités de placer les "1" et les "2", c'est-à-dire \({n\\k}\)\({n-l\\l}\)

On obtient finalement :

P = \({n\\k}\)\({n-l\\l}\)\frac{\frac{u!}{(u-k)!}\frac{d!}{(d-l)!}\frac{t!}{(t-(n-k-l))!}}{\frac{b!}{(b-n)!}}

En développant les combinaisons, des simplifications apparaissent :

\fbox{P=\frac{\({u\\k}\)\({d\\l}\)\({t\\n-k-l}\)}{\({b\\n}\)}

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba et informatique (pascal) 28-08-05 à 05:31

Pour le tirage avec remise, qui est plus simple que le précédent, ma proposition de 27/8 13h39 me semble juste.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba et informatique (pascal) 28-08-05 à 05:35

Il s'exprime aussi : (avec remise)

\fbox{P'=\({n\\k}\)\({n-k\\l}\)\frac{u^kd^lt^{n-k-l}}{b^n}}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba et informatique (pascal) 28-08-05 à 05:50

J'espère que tout cela est bon.
N'hésite pas à demander des détails sur telle ou telle partie.

Nicolas

Posté par Liloue (invité)re : proba et informatique (pascal) 28-08-05 à 16:04

tout est bon !

merci beaucoup !


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