Soit H : ² + borélienne telle que H(0 , .) = 0 .
On a : E(H o (X,Z)) = H(x,y/x)f(x,y)dxdy = H(x,z)f(x,xz)|x|dxdz
donc la loi de (X,Z) admet (x,z) |x|f(x,z) pour densité (par rapport à la mesure de Lebesgue sur ) .
Soient h : + borélienne et H: ² + définie par H(x,z) = h(z) si x 0 et H(0,z) = 0 .
On a : E (h o Z) = E(H o (X,Y/X)) = H(x,y/x)f(x,y)dxdy = H(x,t) f(x,tx)|x|dxdt = h(t)f(x,tx)x||dxdt = (|x|f(x,tx)dx)dt = h(t)g(t)dt si on pose g(t) = |x|f(x,tx)dx .
La loi de Z admet donc g pour densité (par rapport à la mesure de Lebesgue sur ) .