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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Probabilité Evenement.

Posté par
AudreyPr
25-02-22 à 03:25

Bonjour

Je dois realiser un exercice de probabilités. Mais je ne comprends pas la première question. Je sens bien qu'il s'agit d'une question de cours, mais je n'ai jamais réellement compris la notion de tribu d'évènements.

Donc voici le sujet :

On considere une série de variables indépendantes Xn a deux valeurs :
P( Xn = 0) = 1 - n-b et P(Xn= sqrt(n) ) = n-b

On considère B = (w : Xn(w) 0 pour une infinité d'indice n)

écrire  B en terme d'union et d'intersections d'événements (w : Xn(w) 0)

Donner l'ensemble des paramètres b > 0 tels que P(B) =0, puis tel que P(B)=1.

Merci beaucoup pour votre aide, je ne comprends même pas ce que veut dire B.

Posté par
GBZM
re : Probabilité Evenement. 25-02-22 à 09:23

Bonjour,

Les variables aléatoires X_n sont des fonctions de l'espace probabilisé \Omega à valeurs dans \R et B est l'ensemble des \omega\in \Omega tels qu'il y a une infinité d'entiers n\in \N pour lesquels X_n(\omega)=0 ; ceci revient à dire que pour tout entier N, il existe n\geq N tel que X_n(\omega)=0.
Avec la description que je viens de donner, on n'est vraiment pas loin de la description de B comme une intersection d'unions d'évènements \{\omega \in \Omega \mid X_n(\omega)=0\}.

Posté par
GBZM
re : Probabilité Evenement. 25-02-22 à 11:04

Je vois que c'est en fait \Large X_n(\omega)\neq 0. Ça ne change pas fondamentalement pour la première question, mais ça vaut mieux pour la suite de l'énoncé.

Posté par
AudreyPr
re : Probabilité Evenement. 25-02-22 à 11:47

Je crois donc qu'on en arrive a ca :

{\bigcap_{N=1}^{+inf}\left({\bigcup_{N}^{+inf}{(X_n \neq 0)}}} \right)

Quelque soit N, on doit avoir au moins un n>N tel que Xn soit différent de 0.

C'est bien ca?

Posté par
AudreyPr
re : Probabilité Evenement. 25-02-22 à 11:58

Par contre, si c'est bien cela, je ne vois pas du tout comment repondre  a la suite.

En tout cas, merci beaucoup

Posté par
GBZM
re : Probabilité Evenement. 25-02-22 à 13:41

Oui, c'est bien ça, \large B=\bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{n=N}^\infty \{X_n\neq 0\}.

Ne sais-tu pas par exemple majorer P\left(\bigcup_{n=N}^\infty \{X_n\neq 0\}\right)

Posté par
AudreyPr
re : Probabilité Evenement. 26-02-22 à 10:36

P\left(\bigcup_{n=N+1}^{inf}{{X_n\neq 0}} \right) \leq \sum_{N+1}^{inf}{P(X_n \neq 0)} \leq \sum_{N+1}^{inf} {n^{-b}} \leq {\int_{N}^{inf}{n^{-b}}} = (1-b)n^{1-b}

Le problème ici c'est qu'on a une intersection non disjointes, donc je ne voit pas quoi faire de ma majoration sachant qu'on ne peut pas les multiplier.

Et de plus mon resultat n'est valable que si b est plus grand que 1.

Posté par
GBZM
re : Probabilité Evenement. 26-02-22 à 11:05

Tu y es presque mais tu ne t'en aperçois pas.

Que peux-tu dire de la suite des ensembles \large A_N=\bigcup_{n=N}^\infty \{X_n\neq 0\} ? Peux tu comparer A_N et A_{N+1} ?

Posté par
AudreyPr
re : Probabilité Evenement. 26-02-22 à 11:14

J'ai trouve le lemme de Borel-Cantelli qui repond a ma question.

Il me dit que si \sum_{n=1}^{inf}{P(X_n\neq 0)} < infini alors B n'arrive pas.


J'en ai déduit que si b est strictement plus grand que 1, P(B) = 0, sinon P(B) = 1.

J'ai d'autres questions sur le même exercice, je peux les poser à la suite de ce fil:

On considère Yn = Xn*Xn+1. Donner la loi de la variable Yn pour tout n entier non nul.

P(Yn = 0) = 1 - (n(n+1))-b

Et P(Yn= sqrt(n(n+1))) = (n(n+1))-b

En fait Yn = Xn(n+1)


On considère C = (w : lim supn->inf Xn = infini

J'en ai déduit que cela voulait dire qu'a partir d'un certain rang, les Xn était tous non nuls.

On a donc C= {\bigcup_{N=1}^{inf}{\bigcap_{N}^{inf}{X_n\neq 0}}}

C'est correct?


Merci beaucoup?

Posté par
GBZM
re : Probabilité Evenement. 26-02-22 à 14:12

Le but de l'exercice me semble être justement de te faire démontrer la loi 0-1 de Borel dans ce cas.
La recherche sur internet aurait-elle court-circuité la réflexion ?

Posté par
AudreyPr
re : Probabilité Evenement. 26-02-22 à 15:09

Desole pour ce côté court circuité.

J'avoue avoir eu un côté résoudre le devoir maison et le retravailler après comme je fais souvent. Je n'ai pas l'habitude de buguer autant.

Du coup je dirais que An+1 et inclus dans An.
Car A_n = \left\{X_n \neq 0 \right\} \bigcup{A_{n+1}}


Donc on a l'egalité \bigcap_1^N{A_n}=A_N (Cela vaudrait-il le coup de réécrire la démonstration par récurrence?)
Et on en cherche donc \lim_{N\rightarrow +inf} P{(A_N)}

Comme on a majoré, cela, et qu'on sait qu'une probabilité est toujours positive, dans le cas où b>1, on peut utiliser le théorème des gendarmes et en déduire que P(B)=0

Par contre dans le cas ou b<1 j'ai vu qu'il passait par les évènements complémentaires, mais je verrai cela demain.

Posté par
AudreyPr
re : Probabilité Evenement. 07-03-22 à 23:52

Cela date un peu, j'ai admis le théorème dans le cadre de mon devoir. Car il ne souhaitait pas la démonstration, mais j'ai quand même pris le temps de l'étudier depuis.

Je stressais juste un peu à cause de la deadline serrée.

Merci beaucoup.



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