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Probabilité sur un univers quelconque

Posté par
pauline867
02-04-24 à 13:40

Bonjour, je n'arrive pas à continuer mon exercice de mathématiques. Je suis vraiment bloquée, voici l'énoncé :

Deux joueurs A et B jouent chacun avec deux dés équilibrés. A gagnera en amenant un total de 7 et B en amenant un total de 6. B joue le premier et ensuite (s'il y a une suite), A et B jouent alternativement.
Le jeu s'arrète dès que l'un des deux gagne.

1. Déterminer la probabilité d'obtenir un total de 6 (resp. 7) en lançant 2 dés.

2. Déterminer la probabilité des événements suivants pour n € N*
An " A gagne à son n-ème lancer"
Bn "B gagne à son n-ème lancer"

3. À l'aide des événements précédents, décrire les événements
F " A gagne "
G " B gagne"

4. En déduire la probabilité de succès de B (resp. A). Y-a-t'il toujours un gagnant? Le jeu est-il équilibré?

J'ai réussi à faire la question 1 et 2, j'ai trouvé
P(An)= (1/6)(31/36)((5/6)*(31/36))^n-1
et P(Bn) =(5/36)((31/36)*(5/6))^n-1

Mais je n'arrive pas à continuer. Je pense que F est l'union des événements où A gagne après un nombre quelconque de lancers et G est l'union des événements où B gagne après un nombre quelconque de lancers.
Mais je ne sais à partir de quelle formule le calculer.

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
GBZM
re : Probabilité sur un univers quelconque 02-04-24 à 13:55

Bonjour,
Je suis d'accord avec tes formules pour les probabilités de An et Bn.
Ensuite, l'évènement "A gagne" est la réunion disjointe de tous les An.
Tu as donc la somme d'une série à faire. La série n'a-t-elle pas un petit air de série géométrique ?

Posté par
pauline867
re : Probabilité sur un univers quelconque 02-04-24 à 14:46

Merci de votre réponse !
Donc la somme serait (1/6 * 31/36)/(1- (5/6)(31/36)) ce qui ferait que F = 31/61 ?

Posté par
GBZM
re : Probabilité sur un univers quelconque 02-04-24 à 16:36

pour te rassurer tu peux calculer la probabilité de G et vérifier que la somme vaut bien 1.

Posté par
pauline867
re : Probabilité sur un univers quelconque 02-04-24 à 18:00

Oui c'est bon j'ai trouvé G=30/60 !

Et pour la question 4, je pense que P(B) reviens à calculer P(Bn+1)= (1-P(B))*P(B)
Ça me semble logique mais je sais pas vraiment comment l'expliquer.

Posté par
flight
re : Probabilité sur un univers quelconque 02-04-24 à 23:28

salut , tu peux t'inspirer de cet exercice : Proba

Posté par
pauline867
re : Probabilité sur un univers quelconque 03-04-24 à 09:33

Merci beaucoup !
Mais il n'y a pas besoin d'avoir une variable aléatoire pour trouver la le succès de B ?

Posté par
pauline867
re : Probabilité sur un univers quelconque 03-04-24 à 09:49

Pardon je me suis embrouillée !
Je voulais savoir comme savoir s'il y a toujours un gagnant ?

Posté par
GBZM
re : Probabilité sur un univers quelconque 03-04-24 à 22:02

Il existe des suites infinies de lancers pour lesquelles il n'y a jamais de gagnant. Mais l'intuition, confirmée par le calcul que tu as fait,  nous dit bien que cet ensemble est de probabilité nulle.



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