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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Probabilité uniforme
Posté par intiss
Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercicee, pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Soit ([0, 1], F, P) l'intervalle [0, 1] muni de la probabilité uniforme P.
On rappelle que P est caractérisée par le fait que si a, b sont deux réels tels que
0 ≤ a ≤ b ≤ 1, alors
P(I) = P([a, b]) = P(]a, b[) = b − a.
Dans tout l'exercice, nous allons travailler en base décimale, et on notera toujours
x = 0, x1x2 · · · xn · · ·
le développement décimal de x ∈ [0, 1] en base 10.
a) Soit X1 :
[0, 1] −→ {0, 1, ..., 9}
x 7−→ x1
la variable aléatoire (autrement dit, la fonction) qui à x ∈ [0, 1] lui associe sa première décimale.
Par exemple, X1(0, 136) = 1 et X1(0, 846) = 8.
a)Décrire l'intervalle I = {x : X1(x) = k} pour k ∈ {0, 1, . . . , 9}.
b) Tracer le graphe de la fonction X1.
c) Calculer P(I) pour tout k ∈ {0, 1, . . . , 9}.
d) Qu'en déduire sur la première décimale d'un nombre réel tiré uniformément au
hasard sur l'intervalle [0, 1] ?
e) On appelle X2 :
[0, 1] −→ {0, 1, ..., 9}
x 7−→ x2
la variable aléatoire qui à x ∈ [0, 1] lui associe sa deuxième décimale x2.
Démontrer que pour m ∈ {0, 1, . . . , 9}, I2 = {x ∈ [0, 1] : X2(x) = l} est un intervalle que l'on précisera, et que si m= m', I(2,m) inter I(2,m') est soit vide soit réduit à un point.
f) Démontrer que P(I(2,m)) = 1/10 pour tout m ∈ {0, 1, . . .9}.
Citation :
Dans tout l'exercice, nous allons travailler en base décimale, et on notera toujours
x = 0, x1x2 · · · xn · · ·
le développement décimal de x ∈ [0, 1] en base 10.
Dans tout l'exercice, nous allons travailler en base décimale, et on notera toujours
x = 0, x1x2 · · · xn · · ·
le développement décimal de x ∈ [0, 1] en base 10.
cela est incohérent... 1 ne s'écrit pas de cette façon en notation décimale conventionnelle
donc tes applications X sont définies sur [0;1[ et pas sur [0;1]
1 = 0.(9) si tu veux, mais de toute façon ça n'a pas beaucoup d'importance parce que la loi uniforme est diffuse, donc {1} est de mesure nulle
certes, cela n'a pas d'importance... mais un énoncé se doit d'être précis.
par ailleurs, la seule façon de s'assurer l'unicité de l'écriture décimale est d'imposer que le développement ne se termine pas par une infinité de 9.
si l'unicité n'est pas assurée, les "applications" présentées ici n'en sont pas !
bonjour,
à la question e) j'imagine que c'est si
alors
il est contradictoire comme le signale matheuxmatou d'écrire par exemple 0,59999=0,60 avec une deuxième décimale distincte.
Maintenant en effet pour la question des probabilités cela n'a pas d'importance mais c'est gênant pour le texte.
plutôt oui !
et pour la définition même des applications... qui n'en sont plus !
si on accepte les deux écritures x = 0,5999999999....9999.... = 0,6
c'est quoi X1(x) ??? 
seul moyen de rendre un peu présentable cet énoncé :
X1 : [0;1] 
{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}
x
1 E(10 x)
1 9
Bonsoir,
il y a quand même beaucoup de problèmes dans cet énoncé.
Par exemple j'ai du mal à croire que « l'ensemble des réels de [0;1] dont la deuxième décimale est 5 » soit un intervalle.
Ou encore,
Prendre la partie fractionnaire de 10x correspondant à une opération de "shift"
C'est marrant parce que dans les deux cas, les deux écritures de 1 posent problème.
-> {10} = {10.0} = 0.(0) = 0 mais on a envie d'écrire {10} = {9.(9)} = 0.(9) = 1
-> E(10) = E(10.0) = 10 mais E(10) = E(9.(9)) = 9
Moralité, les écritures décimales infinies, c'est vilain.
matheuxmatou @ 22-03-2021 à 14:53
bonjour
et tu proposes quoi pour la première question ?
bonjour
et tu proposes quoi pour la première question ?
Je pense que c'est [0,k; 0,k+1[
DOMOREA @ 22-03-2021 à 18:00
bonjour,
à la question e) j'imagine que c'est si
alors \cap I(2,m')=\emptyset )
il est contradictoire comme le signale matheuxmatou d'écrire par exemple 0,59999=0,60 avec une deuxième décimale distincte.
Maintenant en effet pour la question des probabilités cela n'a pas d'importance mais c'est gênant pour le texte.
bonjour,
à la question e) j'imagine que c'est si
Maintenant en effet pour la question des probabilités cela n'a pas d'importance mais c'est gênant pour le texte.
Ah oui effectivement c'est m
m', désoléUlmiere @ 22-03-2021 à 20:14
 = 10x-(10x-E(10x)) - (x-(x-E(x)) = 9x - \{10x\}+\{x\})
désolé pour le triple post
désolé pour le triple post
Je ne comprends pas comment vous êtes arrivés à cette ecriture
matheuxmatou @ 22-03-2021 à 18:39
plutôt oui !
et pour la définition même des applications... qui n'en sont plus !
si on accepte les deux écritures x = 0,5999999999....9999.... = 0,6
c'est quoi X1(x) ???
seul moyen de rendre un peu présentable cet énoncé :
plutôt oui !
et pour la définition même des applications... qui n'en sont plus !
si on accepte les deux écritures x = 0,5999999999....9999.... = 0,6
c'est quoi X1(x) ???
seul moyen de rendre un peu présentable cet énoncé :
X1 : [0;1] {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}
x1 E(10 x)
1 9
Comment etes vous arrivez à E(10x) svp?
Bonjour,
N'est-ce pas chipoter un peu beaucoup ?
Si une variable aléatoire est mal définie sur un ensemble de mesure nulle, ce n'est pas trop gênant ...
Bonsoir, voici ce que j'ai trouvé
a) Ik1=[0.k ; 0.k+1[
b) la fonction X1 a la meme allure que la fonction de repatition empirique, elle est croissante, elle est continue à droite et admet une limite à gauche en tout point
c)P(Ik1)=1/10
d) Par contre je ne vois pas ce que je peux en deduire sur première décimale d'un nombre réel tiré uniformément au
hasard sur l'intervalle, à par que j'ai la meme chance de tombé sur un chiffre entre 0 et 9
e) Je n'arrive pas à visualiser ce qu'on me demande, dois-je fixé x1 et par la suite trouver l'intervalle I2k?