Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercicee, pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Soit ([0, 1], F, P) l'intervalle [0, 1] muni de la probabilité uniforme P.
On rappelle que P est caractérisée par le fait que si a, b sont deux réels tels que
0 ≤ a ≤ b ≤ 1, alors
P(I) = P([a, b]) = P(]a, b[) = b − a.
Dans tout l'exercice, nous allons travailler en base décimale, et on notera toujours
x = 0, x1x2 · · · xn · · ·
le développement décimal de x ∈ [0, 1] en base 10.
a) Soit X1 :
[0, 1] −→ {0, 1, ..., 9}
x 7−→ x1
la variable aléatoire (autrement dit, la fonction) qui à x ∈ [0, 1] lui associe sa première décimale.
Par exemple, X1(0, 136) = 1 et X1(0, 846) = 8.
a)Décrire l'intervalle I = {x : X1(x) = k} pour k ∈ {0, 1, . . . , 9}.
b) Tracer le graphe de la fonction X1.
c) Calculer P(I) pour tout k ∈ {0, 1, . . . , 9}.
d) Qu'en déduire sur la première décimale d'un nombre réel tiré uniformément au
hasard sur l'intervalle [0, 1] ?
e) On appelle X2 :
[0, 1] −→ {0, 1, ..., 9}
x 7−→ x2
la variable aléatoire qui à x ∈ [0, 1] lui associe sa deuxième décimale x2.
Démontrer que pour m ∈ {0, 1, . . . , 9}, I2 = {x ∈ [0, 1] : X2(x) = l} est un intervalle que l'on précisera, et que si m= m', I(2,m) inter I(2,m') est soit vide soit réduit à un point.
f) Démontrer que P(I(2,m)) = 1/10 pour tout m ∈ {0, 1, . . .9}.