Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Problème algèbre linéaire

Posté par
ziblos 24-02-13 à 16:31

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur les espaces vectoriels. L'énoncé est le suivant :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphisme de E.
1) On suppose qu'il existe un projecteur de E tel que f = pof - fop. Montrer que fop=0, puis que f²=0
2) On suppose que f²=0. Prouver qu'il existe un projecteur p de E tel que f = pof - fop.

La première question était faite en 2min, mais pour la deuxième je bloque...

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
carpediemre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 16:42

salut

considère Im f et Ker f puis la projection sur l'un par rapport à l'autre ... ou le contraire .....

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 16:43

Bonjour

Tu peux remarquer que Im(f)\subset Ker(f)

Posté par
ziblosre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:05

Mais quelles sont les conditions d'existence d'un projecteur ? Il faut que je trouve une application p telle que pop = p ? Ou que je trouve p telle que Ker p et Im p sont en somme directe sur E ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:09

Tu crois vraiment qu'ils pourraient être en somme directe? prends un supplémentaire de Im(f) et regarde.

Posté par
ziblosre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:14

Je pensais que si p est un projecteur de E, son noyau et son image étaient forcément en somme directe sur E...

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:20

Oui, mais f n'est pas un projecteur... sauf si f=0!

Posté par
carpediemre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:21

bien sur pour un projecteur oui ... mais pour f ? ....

Posté par
ziblosre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:22

Donc comment je construis p ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:25

je t'ai dit de prendre un supplémentaire de Im(f)

Posté par
ziblosre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:32

Et ensuite ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:32

Si tu essayais?

Posté par
ziblosre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:35

En fait j'ai pris G un supplémentaire de Imf, et j'ai essayé en construisant p le projecteur sur G, puis sur Imf, et dans aucun des cas j'arrive à l'égalité demandée

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:45

Mais si, ça marche. Si tu appelles p le projecteur sur G parallèlement à Im(f) un élément x quelconque s'écrit x=(x-p(x))+p(x) avec x-p(x)\in Im(f) et p(x)\in G. Mais alors f(x)=f(p(x)) puisque f s'annule sur Im(f), et p(f(x))=0 puisqu p s'annule sur Im(f).

On a donc f=f\circ p+p\circ f

Posté par
ziblosre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:52

Il y a juste un truc que je comprends pas, comment on justifie le fait que x - p(x) est dans Im f ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:54

Par définition! E=Im(f)+G, x=x_1+x_2 avec x_1\in Im(f) et x_2\in G, j'ai posé p(x)=x_2, donc x_1=x-p(x)\in Im(f)

Posté par
ziblosre : Problème algèbre linéaire 24-02-13 à 17:59

Ah oui d'accord, j'ai compris. Merci du coup d'pouce, j'y aurais pas pensé tout seul *_*


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !