Niveau Maths sup

Problème Arccos(cos(x))

Posté par alex36_74 (invité) 20-01-05 à 18:27

Bonjour a tous,
J'ai un souci avec arccos(cos(x)) et arcsin(sin(x)).
En effet, selon l interalle que l on considere, on ne trouve pas toujours x (l'identité). Quelque un pourrait il m expliquer svp comment trouver à quoi corresponde ces expressions en fonction de l intervalle dans lequel varie x.
Merci d avance,

Alexandre

Posté par re : Problème Arccos(cos(x)) 20-01-05 à 18:49

Bonjour

Je te montre pour la fonction cosinus sa bijection réciproque arccosinus .

Bien , nous savons que pour admettre une bijection réciproque , comme son nom l'indique , notre fonction de base doit être bijective .
cos induit une bijection de $[0;\pi]$ sur $[-1;1]$ on en déduit que sa bijection réciproque sera :
$\arccos\;:\;[-1;1]\;\to[0;\pi]$

(autrement dit on a :
$\{\begin{eqnarray}\cos\;&:&\;[0;\pi]\;\to[-1;1]\\\arccos\;&:&\;[-1;1]\;\to[0;\pi]\end{eqnarray}$

On aura donc :
$\forall x\in[-1;1]\;, \cos(\arccos(x)) = x$
$\forall x\in[0;\pi]\;, arccos(cos(x)) = x$

Jord

Posté par re : Problème Arccos(cos(x)) 20-01-05 à 19:20

Oui Nigthmare, mais il faut prendre garde de ne pas confondre arccos(x) et Arccos(x)

La fonction arccos(x) a sa valeur dans [0 ; Pi], alors que Arccos(x) qui n'est pas une fonction a sa valeur dans R.

Dans la cas de Arccos, par exemple si sur une calculette tu tapes Arccos(cos(10)), la solution donnée est 2,56637...

Et on voit bien que 10 est différent de 2,56637...
----
Cela vient du fait que cos(x) = cos(x + 2kPi) = cos(-x+2kPi)

Et donc il existe une infinité d'angles qui ont le même cosinus.

Donc si on prend cos(x) pour x dans [0 ; Pi], on aura bien arccos(cos(x)) = x, mais si x est en dehors de [0 ; pi] ...
----
Remarque que Arccos(cos(x)) n'est pas une fonction puisqu'il n'y a pas bijection réciproque ...
-----
Pour tout arranger, il y a confusion entre les notations arccos et Arcccos, certains considérant que c'est arccos la fonction alors que d'autres considèrent que c'est la notation Arccos qui représente la fonction.

Bref c'est la foire.
-----
J'ai bien peur que ce que je viens de raconter ne perturbe encore plus certains.