Bonjour PitCrown

1)La partie réelle de est clairement puisque x et y sont réels.

2) f=P+iQ avec est holomorphe si et seulement si P et Q sont -différentiables et si les conditions de Cauchy-Riemann sont vérifiées.

Tu tombes sur un système d'équations aux dérivées partielles permettant de déterminer Q.



Tigweg

Ca fait 2 heures que je me casse la tete sur ce systeme d'equation et ca donne un truc incohérent.

Ben si tu nous écris ce que tu trouves, on t'aidera peut-être!
Un petit merci fait toujours plaisir, au passage...

salut,
plus qu'un petit merci, un grand merci !
Par rapport aux systemes d'equations, un calculs d'equations différentielles s'imposent non ?

Peux tu expliciter pour ta première réponse ,svp ?

Merki !

OK, tu t'es bien rattrapé!

Bon on connait P et on cherche Q,ok?

Peux-tu écrire les deux équations de Cauchy-Riemann?

Yes,


P'x(x;y) = Q'y(x;y)
P'y(x;y) = -Q'x(x;y)


Où puis je trouver le logiciel pour écrire bien les formules de math comme toi ?

J'ai calculé et on se retrouve avec un calcul de (u) et (u'), à partir de la je dois utiliser les equa diff non ?

Voilà!

J'utilise Latex, tu peux cliquer sur LTX en bas de ce cadre et marquer des formules à l'intérieur des deux balises qui vont apparaitre.
Pour savoir comment écrire ces formules, clique sur l'onglet marqué enpetit dans la bande grise du haut de page.


Calcule ensuite les dérivées partielles de P par rapport à x et y,et vogue la galère, système d'équas diffs en Q!

ok, je te remercie, je le fais des maintenant je te tiens au courant ! Et par rapport à la question 1, j'ai pas bien compris la méthode pour procéder.

LA question 1? Sur la partie réelle de

yes, le prob, c que je dois faire ces exos avec des cours sans exemple...
pas évident, il me faut juste un exemple pour comprendre.. Et sachant que j'ai d cours par correspondance, pas grand monde pour m'aider...

Oui pour la question 1

Que ne comprends-tu pas dans ce que je t'ai répondu hier?

Je ne comprends pas comment es tu arrivé à ce résultat.

Excuse-moi,j'étais ailleurs

Tu es d'accord pour dire que z=x+iy on a bien ?

non, il doit me manquer un élément.

OK!

Alors si x et y sont les parties réelle et imaginaire de on a z=x+iy d'où comme pour tout y réel on a par définition (en Terminale en tout cas)

,

il vient:

.


OK?

Merci, je viens de ES, il me mank des définitions ,et des méthodes, que je suis obligé d'apprendre... Merci bcp ! Effectivement c'est pas dur, mais faut le savoir !

OK!
Pas de problème PitCrown!

C'est encore moi !
J'ai pu faire donc la premiere question.

Mais comment je peux faire pour la deux sachant que je me retrouve avec un résultat avec des x et des y, plus U et U' ! ?

Qu'est-ce que U et U' à présent?

Calcule la dérivée par rapport à x de P, ça fera une formule compliquée, mais c'est à ça que doit être égale la dérivée par rapport à y de Q: ça fait une première équation différentielle.

De même écris que la dérivée en y de P(calcule-la!) est l'opposée de la dérivée en x de Q: deuxième équation différentielle.

Je peux vérifier tes calculs si tu les postes.

P'x(x;y)= (2x+1)(x²+2x+1+y²) - (x+x²+y²)(2x+2)
          -------------------------------------
                      (x²+2x+1+y²)²

Q'y(x;y)=  U'dérivé par y * (x²+2x+1+y²) - U (2y)
         ----------------------------------------
                       (x²+2x+1+y²)²

J'arrive à ca, en déduisant de l'égalité que les 2 v² sont égaux (celui de P'X et celui de Q')

Je fais pareil pour l'autre et là j'ai essayé par plein de moyens, je suis bloqué...

Merci

Ta première expression est juste à part que le signe devant le premier y² devrait être un moins.

Tu n'aurais pas dû la développer car on peut barrer 2x(1+x)² avec -2x(1+x)² au numérateur en développant partiellement.
J'obtiens que la dérivée de P par rapport à x est:






Après je ne comprends pas ce que tu appelles U, mais la dérivée par rapport à y de P est:



.



Ainsi ton système différentiel s'écrit:







et


.



OK?


Tigweg

Ta première expression est juste à part que le signe devant le premier y² devrait être un moins. ??????????? Tu plaisantes ?

Tu as du faire une erreur car sans changer le signe, je trouve la meme chose que toi ! En tout cas merci

Ok ok. Faut il que je trouve la valeur de Q ? si oui, comment ? lolMerci de ta patience !

Oui désolé il y avait une erreur dans ce que j'ai écrit, mais mes expressions finales sont bonnes.




Pour trouver Q il s'agit d'intégrer la première relation par rapport à y (le numérateur est aussi (1+x)²+y²-2y² donc l'expression à intégrer s'écrit aussi en séparant les fractions et en simplifiant la première:




[1/(1+x²+y²)] -2y²/((1+x)²+y²)² .D'où deux intégrales (mais imagine x constant puisqu'on intègre par rapport à y),la première vaut (1/racine(1+x²))Arctan(y/racine(1+x²)) + Constante dépendant de x, la deuxième s'intègre par parties en posant u'=2y/dénominateur (formule f'/fⁿ avec n=2 et f(y)=(1+x)²+y²) et v=-y).

A la fin regroupe les deux constantes dépendant de x (autrement dit des fonctions de x,mais sans y) entre elles.





Ces "constantes" sont pour le moment indéterminées, soit C(x) leur somme.
Ca te fournit une première expression de Q(x,y).







Ensuite intègre par rapport à x la dérivée partielle de Q par rapport à x (donc là c'est y qu'on voit commeune constante!)




C'est plus simple car c'est directement la forme u'/uⁿ avec n=2, u(x)=(1+x)²+y², à un facteur -y près.
Ainsi l'intégrale vaut y/((1+x)²+y²) + constante dépendant de y cette fois, notée D(y).





Ainsi tu as une deuxième expression de Q(x,y), qui est:

Q(x,y)= y/((1+x)²+y²) + D(y).


Egale tes deux expressions, et tu en déduiras ce que valent les constantes C(x) et D(y), ce qui te fournira la seule expression possible (et complète!) de Q(x,y).



Tigweg

Je te remercie, la machine se met progressivement en route...

Tu n'es pas en France, j'espere !?
Moi je suis au Canada, d'où le fait que je poste à des heures ci tardives pour un Francais !

Tu es prof dans la réalité ?

Si si,je suis en France, mais j'ai un rythme un peu décalé en ce moment!
Et puis quand y a urgence...!
Mais tu es Canadien ou Français?
Tu me disais avoir fait une Terminale ES, donc j'imagine que tu l'as faite en France (je crois savoir que le système éducatif n'est pas du tout le même au Québec)?

Sinon oui, je suis prof en Lycée dans la réalité, comme tu dis!

Et toi, en fac de maths?
En quelle année?


Tigweg

Moi, je suis en ESC, et j'essai tant bien que mal, de faire une L3 en math spé Proba, mais avant de faire des probas (2semestres), j'ai d'autres choses comme th. résidus et Topologie...

Venant d'ES, puis prépa EC (meme si on a fait pas mal de maths), il me manque tt une partie des cours. Je perds un temps considérable à trouver les formules que je suis sensé connaitre...

Mais ce n'est pas grave, plus ca va allait, mieux ca va etre, il me suffit juste de voir une fois, et apprendre, j'ai pas mal de temps à consacrer au math a peu pres 7h par jour juqu'a Mi janvier mes partiels... Quitte à passer mes nuits je veux y'arriver...

Désormais, tu sais pourquoi certaines de mes problemes peuvent de paraitre bete !

Tu es jeune prof ? Dans le 93, donc je suppose ! lol

Merci

Ok mais tu viens donc de France?

Et non je ne suis pas dans le neuf-trois,j'ai fait ce qu'il fallait pour rester dans ma ville d'origine (Strasbourg)

Pour trouver Q il s'agit d'intégrer la première relation par rapport à y (le numérateur est aussi (1+x)²+y²-2y² donc l'expression à intégrer s'écrit aussi en séparant les fractions et en simplifiant la première:

(1+x)²+y²-2y² = (1+x)² - y²  
C'est pas plus simple ?

Si non d'ailleurs tu peux pas simplifier il me semble car tu as (1+x)² - y²  au dénominateur. Non ?

Ah oui, après cette erreur, se répercute sur tt le reste, mais c'est bon je m'y suis retrouvé Ca doit etre bon signe !! Ca m'a forcé a comprendre !! On est bien d'accord qu'avant ce soir, j'avais jamais vu arctan ! Bon, ben c'est fait !!

j'arrive avec ces deux égalités:

               1                           x
Q(x;y)= ---------  arctan    -------- + C
       (|1-y²|)           ((|1-y²|)



                 x+1
Q(x;y)=  -------------   +  D
              (1+x)² - y²


Je vois pas comment calculer l'égalité.

Somebody to help me ? Thanks

Bonjour Pitcrown, je ne trouve pas ça:

dans mon message de 01h53 de la dernière fois, quand on intègre par rapport à y la fonction:




, on obtient deux intégrales.

La deuxième (avec le signe - inséré sous cette deuxième intégrale) donne, par parties :





Cette dernière intégrale se simplifie avec la première, celle qu'on n'a pas encore calculée mais dont le calcul devient donc inutile.


Il reste donc:







A présent, une deuxième expression de Q sera obtenue en intégrant par rapport à x la fonction





L'intégrale en question donne donc aussi:



.



Ainsi les fonctions K et L, qui ne dépendent que de x pour K et de y pour L, sont telles qu'on ait, pour tout couple (x,y), la relation:





Cela équivaut à dire que K et L sont des fonctions constantes tout court, ne dépendant ni de x ni de y.




On vérifie enfin que la fonction Q trouvée et que la fonction P sont différentiables sur
ce qui équivaut à la différentiabilité de f=P+iQ lorsqu'on la voit comme une fonction de
dans .




Conclusion finale:


les fonctions holomorphes cherchées sont celles qui s'écrivent sous la forme



,


où x, y sont réels et où K est une constante complexe.




Tigweg

Je te remercie Tigweg

En fait j'étais entrain de faire pour l'égalité suivante

P'x(x;y) = Q'x(x;y)
P'y(x;y) = Q'y(x;y)


au lieu de


P'x(x;y) = Q'y(x;y)
P'y(x;y) = -Q'x(x;y)


Tout en sachant qu'entre temps, l'heure tardive n'aidant pas, j'ai remplacé un + par un - au dénominateur...

Merci

Avec plaisir, Pitcrown!