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Problème d'algèbre non linéaire

Posté par
raphraph
23-05-11 à 11:03

Bonjour à tous,

Voici le problème : soient x et y deux vecteurs de taille N. On sait trois choses :

1 : ils sont perpendiculaire càd x*y'=0;
2 : ils ont chacun une moyenne nulle;
3 : ils ont chacun une variance = 1;

Mathématiquement cela se traduit par (les sommes vont de 1 à N à chaque fois) :

1 : xiyi=0;
2 : xi=0 et yi=0;
3 : \frac{1}{N} xi2=1 et \frac{1}{N} yi2=1;

A partir de là la question est la suivante : A-t-on forcément xi3yi=0 (on aurait alors aussi yi3xi=0 vu que le problème est symétrique en x et y) ?

J'ai fait quelques essais à 3 dimensions (N=3) et dans tous les cas la relation était vérifiée. Peut être que ce n'est plus le cas en dimension supérieure, mais peut être que la relation est bien vérifiée pour l'instant je n'en sais pas plus.

Si quelqu'un avait une idée (un contre-exemple ou une idée de démo) ça m'aiderait beaucoup !

Merci !

Posté par
GaBuZoMeu
re : Problème d'algèbre non linéaire 23-05-11 à 17:53

Bonjour,

3 dimensions, ça va, 4 bonjour les dégats !

Remarque préliminaire : la condition 3 sur la variance n'a aucune importance puisque les expressions considérées sont homogènes par rapport aux x et homogènes par rapport aux y.

Une preuve pour 3 :

 \\ (x_1y_1+x_2y_2+(x_1+x_2)(y_1+y_2))\times(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) = x_1^3y_1+x_2^3y_2+(x_1+x_2)^3(y_1+y_2).

Contre-exemple pour 4 : x=(2,1,-3,0), y=(1,-2,0,1).

Posté par
nevada
re : Problème d'algèbre non linéaire 23-05-11 à 18:06

3) non vérifié avec cet ex

Posté par
GaBuZoMeu
re : Problème d'algèbre non linéaire 23-05-11 à 18:12

Bon alors je t'explique, nevada, puisque tu n'a pas vu et/ou compris ma remarque préliminaire:
Si tu veux un exemple vérifiant 3, il suffit de diviser le x que j'ai donné par \sqrt{14/4} et le y par \sqrt{6/4}



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