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si je prends la suite x1=1 et xn+1=2/xn+xn alors d(xn,xn+1)=[1/xn-(xn/2+1/xn)]=1/xn-xn/2-1/xn=-xn/2 avec xn qui tens vers l'infini alors ça ne marche pas non plus 
ah oui là j'obtiens d(xn,x(n+1))=|1/(n*(n+1)| qui tend vers 0 car xn tend vers l'infini. Or 0 n'appartient pas à 
* d'où l'espace n'est pas complet!
Tu vois mon problème c'est de trouver une suite... et c'est le même problème depuis plus de 2ans!
Dans : d(x,y)=|arctan x - arctan y|
J'ai bien montré que c'est un espace métrique et maintenant je dois montrer qu'il n'est pas complet donc je cherche une suite de Cauchy qui ne converge pas dans mais ce que je ne saisis pas c'est que normalement une suite de Cauchy converge forcément dans non ?
Citation :
une suite de Cauchy converge forcément dans R non ?
une suite de Cauchy converge forcément dans R non ?
>Pour la distance usuelle oui!
Pas pour des machins pathologiques comme tu proposes!
Sinon il y a des problèmes dans ton raisonnemment sur xn=n :
tu n'as pas montré que la suite est de Cauchy, il faut calculer |xn-xm| et prouver que ça peut être rendu petit dès que n et m sont plus grands qu'un certain n0.
Ensuite quand tu y seras arrivée, qui te dit que la seule limite possible est 0?????
Une suite de Cauchy, c'est une suite dont la distance des termes tend vers 0, autrement dit les distances entre termes diminuent.MAis rien ne dit que les termes se rapprochent tous de 0!
Pour montrer qu'elle ne converge pas il fautraisonner par l'absurde:
"si elle convergeait vers l dans R*, alors 1/n - 1/l tendrait vers 0 pour la distance usuelle.Or 1/n tend vers 0 donc on aurait 1/l = 0, ce qui équivaut à 1=0, contradiction."
Ainsi on a dégotté une suite de Cauchy non convergente et l'espace n'est pas complet.
Pour ton deuxième exemple, utilise la même suite xn=n, ça doit encore marcher!
Sur ce, bonne nuit!
Tigweg
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