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Problème d'analyse réelle (normes)
Bonjour à tous!
Je suis en train de travailler sur plusieurs exos et j'ai un petit soucis avec le premier exo dont voici l'énoncé:
||f||0=
|f(x)|dx pr x allant de 0 à 1
||f||[sub]1=sup|f(x)| pr x
[0,1]
||f||2=|f(0)|+sup|f'(x)| pr x[0,1]
||f||3=|f(o)|+|f'(0)|+sup|f''(x)| pr x[0,1]
Il faut montrer que ce sont bien des normes donc pour cela pas de problème mais ensuite il faut montrer que 
fE, (i
j)=>||f||j||f||i et pour cela je n'ai pas vraiment d'idée!
PS: désolée pour les indices ce n'est pas très pratique d'écrire tout cela sur PC!
Salut conejita! 
J'imagine que l'espace est celui des fonctions de classe C² sur [0;1]?
Il est clair que la norme 0 est majorée par la norme 1, pour les autres utilise l'inégalité des accroissements finis. 
Tigweg
oui l'espace est bien celui que tu décris!
Pour l'inégalité des accroissements finis: inconnue au bataillon mon capitaine! lol
en fait je voulais écrire ces normes avec une formule générale: ça marche bien à partir de l'indice 2 mais pour 0 et 1 ça marche pas!
L'inégalité des accroissements finis te dit que si f est dérivable sur [a;b]
et si m < f' < M sur [a;b],
alors pour tous x et y tels que a
m(y-x)
En particulier si |f'|
pour tous x et y dans [a;b].
Ici en notant M=sup|f'| (qui existe puisque f' est continue sur le compact [0;1]), on trouve (avec y=0) que pour tout x de [0;1],
d'où comme
.
Et comme cette majoration vaut pour tout x de [0;1], on peut passer à la borne supérieure à gauche, ce qui fournit bien:
pour toute fonction f de E.
Essaie une tactique analogue pour la dernière égalité.
Il fallait bien sûr lire:
L'inégalité des accroissements finis te dit que si f est dérivable sur [a;b]
et si m < f' < M sur [a;b],
alors pour tous x et y tels que a
m(y-x)
(et pas b(y-x))
Mais dans la question les indices sont i et j donc c'est un cas général alors que là je vais le montrer pour les 4normes que l'on a, ça ne pose pas de problème ?
Ce n'est pas un ca général, il n'y a que 4 normes qui sont définies par ton énoncé! 
C'est juste une façon abrégée d'écrire :
"Prouver que pour tout f de E, "
j'ai encore une question stupide (mea culpa): tu as dit que c'était evident que la norme 0 est majorée par la norme 1 mais ça ne me parrait pas si évident que ça de dire que le sup d'une fonction (avec les conditions que l'on a ici) est supérieur à l'intégrale de cette fonction ...
Tu es d'accord que pour tout x, on peut majorer |f(x)| par la constante N=sup|f(x)|, le sup étant pris sur [0;1]?
Dans ce cas, tu peux majorer l'intégrale de |f(x)| par l'intégrale de la constante N, autrement dit par N.1=N
ah ouiiiii bien vu!
Bon je vais essayé de faire la majoration entre la troisième et la quatrième norme.
Merci
voilà la dernière partie est faite en posant M=sup|f''(x)|.
Ensuite l'énoncé demande si deux quelconques des quatres normes sont équivalentes, je suppose qu'il y a un lien avec les majorations que l'on vient de faire ?! (ce qui colle bien à la définition de normes équivalentes)
j'ai oublié un détail le prof a donné un indice (qui m'embrouille plus qu'autre chose d'ailleurs) c'est d'utiliser fn(x)=xn/np où p 
Suppose par exemple que la norme 0 équivale à la norme 1.
Il existerait alors une constante K >0 telle que pour tout f on ait .
Applique ceci à chaque terme de la suite et déduis-en que K ne peut pas exister.
ok je vais travailler ça ce soir.
Dernière question pour ce soir pour les exercices à venir:
quand on demande si un espace est complet ou non que faut il exactement démontrer? Quelle est la méthode générale? Quelles conditions faut il regrouper pour que l'espace soit complet ?
Un espace est complet si toute suite de Cauchy (pour la distance considérée) converge(pour la topologie induite par la distance) vers un élément qui est encore dans l'espace initial.
Donc pour prouver qu'un espace est complet, il faut montrer que toute suite de Cauchy converge.
Pour prouver qu'il n'est pas complet, il faut trouver une suite de Cauchy qui ne converge pas, ou en tout cas pas dans l'espace de départ.
On peut aussi utiliser l'équivalence:
Soit (E,d) un espace métrique.Alors E est complet <=> Toute série absolument convergente de E est convergente (dans E).
oué c'est bien ce qu'il y a dans mon cours
Ce qui m'échappe c'est l'aspect "concret" des suites de Cauchy ainsi que la différence entre les espaces de Fréchet et ceux de Banach...
De plus la définition des suites de Cauchy que l'on a c'est pour un espace métrique or les exos sont dans des espaces normés!
Nos profs de CM ne sont pas très clairs quant à la différence entre Banach et Fréchet, de ce que j'ai compris ce serait:
Banach: espace NORME complet
Fréchet: espace METRIQUE complet
Est ce bien cela ?
On t'a parlé d'espaces de Fréchet??Compliqué, ça, tu es à quel niveau?
Pour moi, un espace de Fréchet est un espace localement convexe métrisable, complet pour la distance sous-jacente.
Mais parlons-nous bien de la même chose? Il semblerait que non, à part dans le cas élémentaire où le Fréchet se réduit à un espace métrique habituel!
(Pour un Banach nous avons bien la même définition).
Sinon pour répondre à tes questions, tout espace normé est aussi métrique pour la distance d(x,y)=||x-y|| induite par la norme.Donc ça a bien un sens que de parler de suites de Cauchy dans un espace normé.
En tout cas tout espace de Banach est métrique complet, qu'on appelle ou pas ce dernier un espace de Fréchet
Par exemple dans le plan vectoriel usuel P muni de la norme euclidienne et d'une base normée (i;j), la suite un=2i+(3/n)j de vecteurs est de Cauchy car elle converge (vers 2i).
(On pourrait aussi vérifier directement que ||un-um|| peut être rendu aussi petit qu'on veut dès que n et m sont assez grands).
P est complet comme produit de R par lui-même muni d'une des normes-produits habituelles.
La distance de deux vecteurs x et y est là encore ||x-y||.
Autre exemple: dans E muni de la norme 0, la suite xn est de Cauchy (on trouve
qui peut être rendu arbitrairement petit)
En revanche on peut montrer que cette suite ne converge pas dans le même espace.Ainsi cet espace n'est pas complet.
Je suis en troisième année de licence de mathématiques.
Je te donne la déf du cours d'un espace de fréchet:
Si toute suite de Cauchy dans (E,d) converge alors (E,d) est dit espace de Fréchet ou espace métrique complet.
Cela doit donc bien être une définition un peu "simpliste" vu ce que tu m'as dit concernant les espaces de Fréchet car nous n'avons pas abordé la notion d'espace convexe métrisable (mais il me semble que nous allons les voir au cours de l'année).
En fait pour montrer qu'un espace n'est pas complet j'ai très bien saisi le concept de trouver une suite de Cauchy qui ne converge mais j'ai beaucoup de mal à construire cette suite surtout dans le cas de fonctions qui ne sont pas continues comme:
||f||=(f2(t) dt)1/2 pr x allant de -1 à 1
La suite (fn) est définie par:
fn(x)= 0 si x[-1,0]
fn(x)=nx si x]0,1/n]
fn(x)=1 si x]1/n,1]
je vois bien qu'on ne peut pas avoir |fm(x)-fn(x)|<epsylon quelque soit epsylon supérieur à 0 (vu les valeurs prises par la suite) mais je n'arrive pas à construire l'exemple d'une suite de Cauchy qui ne converge pas...
Ta suite de fonctions est continue, que veux-tu dire?
Ta norme n'est pas l'une de celles de l'exercice, mais je dirais intuitivement que la suite (f_n) est de Cauchy, non?
Et bien je dois montrer que (E,|| ||) n'est pas complet, je suppose donc que je dois trouver une suite de Cauchy qui ne converge pas mais comment la construire ?
Alors ça dépend quel est ton espace!
E est-il l'espace des fonctions continues sur [0;1] muni de ||.|| ou l'espace des fonctions mesurables dont l'intégrale du carré est finie?
Dans ce dernier cas, l'espace est complet.
Dans le premier cas, la suite que tu as définie marche très bien:
1)Elle est de Cauchy, je trouve pour m>n>0:
.
Donc pour tout il existe
.
2)Si elle convergeait vers un élément f de E au sens de la norme ||.||, il existerait une sous-suite vn de un convergeant point par point vers f(résultat classique).
Or un converge point par point vers la fonction g égale à 0 sur [-1;0] et à 1 sur ]0;1].
Il en est donc de même de vn ,d'où f=g.
Mais f est discontinue, ce qui contredit le fait que f est dans E.
Conclusion: un est une suite de Cauchy non convergente de (E,||.||), ce qui prouve que cet espace n'est pas complet (donc ni de Banach, ni de "Fréchet"!)
Sauf erreur bien sûr, et sans garantie aucune que cette suite est l'exemple le plus élémentaire.
Tigweg
2)Si elle convergeait vers un élément f de E au sens de la norme ||.||, il existerait une sous-suite vn de un convergeant point par point vers f
->C'est un peu exagéré tout de même, on ne peut le dire que presque partout, autrement dit il existe un ensemble A de mesure nulle inclus dans [-1;1] tel que vn converge point par point vers f sur le complémentaire de A dans [-1;1].
Mais la suite du raisonnement est analogue car f, qui coïncide donc avec g sauf sur un ensemble de mesure nulle, ne peut toujours pas être continue sur [-1;1].
Tigweg
Bonsoir!
Je vais te mettre l'énoncé précis de l'exo ce sera nettement plus compréhensible:
E=C([-1,1])
Pour fE: ||f||=(f2(t)dt)1/2 pour t allant de -1 à 1.
En considérant la suite (fn) n
définie par:
fn(x)=0 si x[-1,0]
fn(x)=nx si x]0,1/n]
fn(x)=1 si x]1/n,1]
Montrer que (E,|| ||) n'est pas complet.
Euh..c'est un peu embêtant vu le temps que j'y ai consacré!
Essaie de refaire les calculs déjà!
Après pour le 2) j'applique une propriété de ton cours sur les fonctions mesurables!
Essaie de me poser des questions plus précises.
En fait je suis loin d'avoir tout écrit!
Les calculs sont assez longs et il faut factoriser astucieusement le résultat pour parvenir (à supposer que je n'aie pas fait d'erreur!) à (m-n)²/(3nm²).
Mais pour schématiser, j'ai calculé l'intégrale du carré de fm-fn en prenant m>n.
Si tu dessines, tu t'aperçois que c'est fm la plus grande.En 1/m elle vaut déjà 1, alors qu'il faut attendre 1/n pour que l'autre vaille 1 aussi.
|fm-fn|², c'est 0 pour x entre -1 et 0, ainsi qu'entre 1/n et 1.
C'est le carré de (mx-nx) pour x entre 0 et 1/m.
Enfin, c'est le carré de (1-nx) entre 1/m et 1/n.
Tu dois donc intégrer sur deux intervalles au total.
Tu factorises le résultat, et tu (en tout cas je!) trouve (m-n)²/(3nm²).
Après tu développes le haut, tu sépares en 3 fractions que tu simplifies, puis comme m>n tu obtiens ma mnjoration.
Essaie, on va comparer!
Non non, mais elle n'influe pas sur la convergence!
Dire que ||xn-xm||² peut être rendu aussi petit qu'on veut équivaut à dire que ||xn-xm|| peut être rendu aussi petit qu'on veut.
Mettre au carré supprime bien les racines
ah donc je ne tiens pas conte de ma puissance 1/2 (donc de ma racine) !
ça va nettement simplifier le calcul!
"Tu factorises le résultat...
Après tu développes le haut"
Pourquoi factoriser pour ensuite développer ?
Pour le (m-n)²/(3nm²) je suis ok!
> Bon!!
Pourquoi factoriser pour ensuite développer ?
>Rôôh parce que c'est plus simple comme ça, na!
Rôôh parce que c'est plus simple comme ça, na!
oué oué on va dire ça...
Bon alors pour moi:
n/3m2<1/3n
2/3m<2/3n
1/3n=1/3n (forcément)
donc n/3m2-2/3m+1/3n<0 (1/3n-2/3n+1/3n=0) erreur de ma part ?
Ah oui là c'est une erreur, on peut le dire!
Si a < x et b < y alors on n'a pas a-b < x-y !!
Par contre tu peux commencer par virer le terme négatif pour une première majoration, comme j'avais fait moi!
Après tu n'auras plus qu'à reprendre la suite de mon message de 00h23, c'est moins sibyllin !!
Tigweg
arf ... ça devient du grand n'importe quoi là! (trop de maths dans la journée tue les maths lol!)
ok pour cet exo.
Ensuite la question est :
muni de d(x,y)=|x-y| est il complet?
Donc je vois qu'il ne l'est pas, après des recherches sur wikipédia j'ai trouvé une bonne explication en posant une suite définie par :
x1=1 et xn+1=xn/2 + 1/xn
Ceci est une suite de Cauchy qui ne converge vers aucune limite de . En fait elle converge vers 
2 qui est irrationnel.
Donc je comprends parfaitement pourquoi l'espace n'est pas complet, ce qui m'échappe c'est la façon de construire une suite qui ne converge vers aucun élément de l'espace? Comment sans même savoir si on doit aboutir à un espace complet ou non construit-on une telle suite? En gros quand vous voyez une question de ce type quel est votre mode de reflexion?
Euh...vous c'est moi?
Bon vu qu'y a pas grand-monde dans les parages, j'aurais tendance à penser que oui!
Mais bon je préférerais qu'on se tutoie si tu veux bien! (T'as vu, j'me gêne pas, moi!)
Bon pour te répondre quand même :
1)Les ensembles usuels sont bien connus, donc à un certain niveau de pratique tu sais (ou sens) qui est complet et qui ne l'est pas
Ca c'est la raison pragmatique.
2)Voici la raison théorique:
en gros Q est "lacunaire", c'est un ensemble dénombrable, quoique assez "gros" pour être dense dans R.
Ca je suis sûr que tu le sais ou que tu l'as déjà entendu!
Traduction: pour tout réel r, tout intervalle ]a;b[ contenant r rencontre Q, c'est-à-dire contient au moins un rationnel.
Re-traduction: pour tout réel r et tout epsilon>0, il y a un rationnel q à une distance inférieure à epsilon de r.
En particulier, en choisissant pour tout n>0 un epsilon égal à 1/n, on déniche une suite qn de rationnels qui converge vers r.
Et si le choix de r était un irrationnel, on a donc construit une suite de rationnels convergeant vers un irrationnel.
Après il suffit de s'arranger, toute suite convergente (dans R) de rationnels définie par récurrence q(n+1)=f(qn) avec f continue, et racine de 2 unique point fixe de f va converger vers racine de 2.
oué oué vous c'est toi j'ai les doigts qui fourchent! et ok pour le tutoiement vu que c'est ce que je fais depuis le début
oui oui l'histoire de densité je connais!
Donc dans mon exemple de tout à l'heure deux questions me viennent:
_ est ce que j'aurais pu définir ma suite en disant plus simplement:
x1=1 et xn+1=1/xn
_est ce que le choix de la suite à un lien avec le fait que est muni de d(x,y)=|x-y| où cette suite n'est-elle choisie que par rapport à l'espace ?
(il va me faloir au moins 10ans pour ratrapper mes lacunes en analyses lol)
ok pour le tutoiement vu que c'est ce que je fais depuis le début
>Ah oui, en effet!
est ce que j'aurais pu définir ma suite en disant plus simplement:x(n+1)=2/xn
2/un tu veux dire!
Mais ça ne marche pas du tout, elle ne converge pas puisque pour tout n, x(n+2)=xn (vérification immédiate!)
Cela dit il y a plein de suites de Q différentes qui convergent vers racine de 2.
Tu peux utiliser la méthode de Newton par exemple:
Tu traces la parabole C:y=x², tu pars d'un point Uo=2 par exemple, et tu définis par récurrence la suite un en posant que U(n+1) est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à C au point d'abscisse Un avec l'axe des abscisses.
Alors Un converge vers racine de 2.
3)Oui, la distance choisie influence considérablement le caractère complet de l'espace.
Ainsi avec la distance discrète d(x,y)=0 ou 1 suivant que x=y ou pas, aucune suite non stationnaire n'est convergente, et aucune suite non stationnaire n'est même de Cauchy!
Dans ce cas très particulier on a même les équivalences:
Un est stationnaire <=> Un est de Cauchy <=> Un est convergente.
Ainsi toute suite de Cauchy converge, ce qui signifie que Q est complet pour cette distance!
Mais bon cette distance est inintéressante au possible, ton espace n'est même pas séparé (deux points distincts ne possèdent même jamais de voisinages disjoints)...
En tout cas ça répond à ta question!
(il va me faloir au moins 10ans pour ratrapper mes lacunes en analyses lol)
>Ne t'inquiète pas, avec l'île ça va aller beaucoup plus vite!
oui oui je m'étais rendu compte que ma suite ne fonctionnait pas (cf post de 22h25).
alors dans le cas :
* muni de d(x,y)=|1/x-1/y| j'ai dit:
cet espace n'est pas complet car considérons la suite définie par x1=1 et xn+1=xn/2; c'est une suite de Cauchy qui converge vers 0 or 0 n'appartient pas à *.
Mais je ne suis pas sure car à première vue cet espace me paraissait complet
Peux tu confirmer ou infirmer stp ?
Je ne suis pas d'accord, on a d(xn,x(n+1))=|1/xn - 2/xn|=1/xn avec xn -> 0 (suite géométrique de raison 1/2)
donc on n'a même pas d(xn,x(n+1))->0 !
J'infirme donc!
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