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Probleme de complexe

Posté par
Maryeme2002 13-11-20 à 22:53

malou edit > **Bonjour**

Soient a,b,c,d,z des complexes.
f: (az+b)/(cz+d) et f(U)=U .
Soit H l'ensembles de homographie vérifiant ctte condition .
1 Montrer que |a|^2 +|b|^2=|c|^2+|d|^2 et ab=cd
Endêduire que (|c|,|d|)est égale à(|a|,|b|) ou (|b|,|a|).
Montrer qu'il exuste un reel
tel que f:exp(i)*(az+b)/(bz+a)

Posté par
Razesre : Probleme de complexe 14-11-20 à 15:24

Bonjour,

f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}

Voici un indice:

Soit z\in \mathbb{U}; donc \exists \theta \in \mathbb{R}; z=e^{i\theta };

f(z)=z;    donc: f(z)\overline{f(z)}=\hdots=\hdots

Posté par
Maryeme2002re : Probleme de complexe 14-11-20 à 16:44

Merci ❤

Posté par
Razesre : Probleme de complexe 14-11-20 à 19:46

Qu'as tu trouvé?

Posté par
Maryeme2002re : Probleme de complexe 14-11-20 à 21:12

Salut,
Monsieur, pourqoui vous avez dit que f(z)=z ?

Posté par
verdurinre : Probleme de complexe 14-11-20 à 21:27

Bonsoir,
comme Razes n'est pas sur l'île en ce moment, je me permet de répondre à sa place.
Je crois qu'il voulait dire \lvert f(z)\rvert=\lvert z\rvert.

Est-ce que ab doit se lire a\,\bar b ?

Posté par
Razesre : Probleme de complexe 14-11-20 à 21:31

Non, désolé c'est  f(\mathbb{U})=\mathbb{U}?  Donc l'image d'un nombre complexe unitaire est un nombre complexe unitaire.

\forall z\in \mathbb{U};\left |f(z)\right |=\hdots

Posté par
Razesre : Probleme de complexe 14-11-20 à 21:32

Bonsoir verdurin.

Posté par
Maryeme2002re : Probleme de complexe 14-11-20 à 21:55

Merci mesieur❤,
  J'ai trouvé la 1 er égalité  |a|^2 +|b|^2=|c|^2 +|d|^2

Posté par
Razesre : Probleme de complexe 14-11-20 à 22:01

Parfait, la seconde?

Posté par
Maryeme2002re : Probleme de complexe 14-11-20 à 22:14

J'ai trouvé.z (dc-ab)+z(cd-ab)=0

Posté par
Razesre : Probleme de complexe 14-11-20 à 23:50

On va continuer de cette façon, puis je te montrerais une autre façon.

Ceci quelque soit z\in \mathbb{C}, donc : si on prends par exemple z=i puis z=1 ; qu'obtient on?

Posté par
Maryeme2002re : Probleme de complexe 15-11-20 à 00:10

Si on prend z=i on obtient
cd-ab-dc+ab=0
Si on prendz=1 on obtient
dc-ab +cd-ab=0
La resoulition du systeme m'a donné la 2eme égalité ab=cd

Posté par
Razesre : Probleme de complexe 15-11-20 à 00:31

OK, donc c'est bon.

Une façon plus rigoureuse est de faire comme proposé au départ.

f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}

f(\mathbb{U})=\mathbb{U}\Leftrightarrow \forall \theta \in \mathbb{R}; \left | f(e^{i\theta }) \right |=1\Leftrightarrow f(e^{i\theta })\overline{f(e^{i\theta })}=1\Leftrightarrow (ae^{i\theta }+b)\overline{(ae^{i\theta }+b)}=(ce^{i\theta }+d)\overline{(ce^{i\theta }+d)}

Donc: (ae^{i\theta }+b)(\overline{a}e^{-i\theta }+\overline{b})=(ce^{i\theta }+d)(\overline{c}e^{-i\theta }+\overline{d}); ceci \forall \theta \in \mathbb{R}

Après le développement, Le résultat se fait par identification.

Posté par
Maryeme2002re : Probleme de complexe 15-11-20 à 00:38

J'ai compris 👍👍
Merci ❤


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