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Niveau terminale
problème de décomposition
Posté par absil
Bonjour,
Soit ABCDEFGH un cube d'arête 1.
M est un point de la droite (AF) et N est un point de la droite (BN)
On pose 
=
et 
= 
Déterminer a et b pour que la droite (MN) soit perpendiculaire aux droites (AF) et (BD) en utilisant deux méthodes :
1) le repère orthonormal (A,AB,AD,AE) et les coordonnées des points de la figure qui interviennent dans les calculs de 
.
et .
J'ai trouvé que a=1/3 et b=2/3
2) En décomposant en 
+
+ 
en +
en 
+
il faudrait retrouver la même chose.
Sauf que là, je beugue.. Je ne trouve pas la même chose. Est-ce que vous pourriez me corriger mes calculs s'il vous plaît ?
(Tout est en terme de vecteurs mais je ne les mets pas pour ne pas alourdir)
(MN.AF)
= (MA+AB+BN).(AB+BF)
= (MA.AB)+(MA.BF)+(AB.AB)+(AB.BF)+(BN.AB)+(BN.BF)
= (-AM.AB)+(MA.AE)+(AB.AB)+(-BA.BF)+(BN.-BA)+(BN.BF)
= (-aAF.AB)+(-aAF.AE)+AB²+(-BA.BF)+(bBD.-BA)+(bBD.BF)
= (a
2*2/2)+(a2*2/2)+ 1 + (b2*2/2)+ (b2*(-2/2))
= 2a + 1
(MN.BD)
= (MA+AB+BN).(BA+AD)
= (MA.BA)+(MA.AD)+(AB.BA)+(AB.AD)+(BN.BA)+(BN.AD)
= (AM.AB)+(-AM.AD)+(AB.AD)+(BN.BA)+(BN.BC)
= (aAF.AB)+(-aAF.AD)+(AB.AD)+(bBD.BA)+(bBD.BC)
= (a2*2/2)+(a2*(-2/2))+(b2*2/2)+ (b2*2/2))
= 2b
d'où a = -1/2
et b= 0
Où sont mes erreurs ?
Merci d'avance de bien vouloir m'aider!
Bonjour
Citation :
Soit ABCDEFGH un cube d'arête 1.
M est un point de la droite (AF) et N est un point de la droite (BN)
On pose = et =
Déterminer a et b pour que la droite (MN) soit perpendiculaire aux droites (AF) et (BD) en utilisant deux méthodes :
1) le repère orthonormal (A,AB,AD,AE) et les coordonnées des points de la figure qui interviennent dans les calculs de . et .
Peux-tu revoir ton énoncé pour qu'il soit compréhensible par tous ? Soit ABCDEFGH un cube d'arête 1.
M est un point de la droite (AF) et N est un point de la droite (BN)
On pose = et =
Déterminer a et b pour que la droite (MN) soit perpendiculaire aux droites (AF) et (BD) en utilisant deux méthodes :
1) le repère orthonormal (A,AB,AD,AE) et les coordonnées des points de la figure qui interviennent dans les calculs de . et .
Pardon !!!
Les vecteurs ne sont pas passés... Tout est en vecteur :
Soit ABCDEFGH un cube d'arête 1.
M est un point de la droite (AF) et N est un point de la droite (BN)
On pose AM=aAF et BN=bBD
Déterminer a et b pour que la droite (MN) soit perpendiculaire aux droites (AF) et (BD) en utilisant deux méthodes :
1) le repère orthonormal (A,AB,AD,AE) et les coordonnées des points de la figure qui interviennent dans les calculs de MN.AF et MN.BD
2) En décomposant MN en MA+AB+BN
AF en AB+BF
BD en BA+AD
Voilà... désolé encore
Bonjour
J'ai fait (trop ?) rapidement des calculs pour la méthode 1 et j'ai trouvé 1/3 pour a et b, mais je me suis peut-être trompé ; facile à vérifier en calculant les produits scalaires avec les résultats trouvés.
Dans l'autre méthode je n'ai pas vérifié mais en première lecture il me semble qu'un produit scalaire AB.BA a disparu dans MN.BD. Tu peux regarder ?
Non je trouve toujours mon 1/3, 2/3 pour la méthode 1.
Euh AB.BA, ça ne donne pas vecteur nul quand on regarde sur le dessin?
Pour la seconde méthode les avant-dernières lignes de tes calculs me paraissent très suspectes dans les deux cas. Peux-tu détailler chaque produit scalaire ?
Pour la première méthode qu'as-tu trouvé comme coordonnées des vecteurs MN, AF, BD ?
Pour la première méthode, j'ai trouvé :
MN (1-b-a;b;-a)
AF (1;0;1)
BD (-1;1;0)
Pour MN.BD
= (aAF.AB)+(-aAF.AD)+(AB.AD)+(bBD.BA)+(bBD.BC)
J'ai utilisé la méthode :
u.v = u*v*cos (u,v)
d'où aAF.AB = a2 comme AF diagonale du carré * AB * cos (AF,AB) = a2*1*2/2
Et idem pour les autres...
Merci de votre aide
OK pour les vecteurs de la méthode 1. Et ton résultat final pour les valeurs de a et b conviennent ?
OK pour le début de la méthode 2, mais c'est la suite qui me paraît suspecte...
Oui, nan effectivement je me suis trompée. Quand je remplace dans mon système, c'est bien b=a=1/3. Merci !
Pour la méthode 2, je continue alors...
aAFAB = a2*1*2/2
-aAF.AD = a2-1*-2/2
Enfin, justement j'hésite pour ça. (AF,AD) = 3pi/4 ? J'ai du mal à le voir sur la figure. C'est peut-être là mon erreur ?
Par contre, j'ai quand même un problème pour la méthode 1 parce-que je vois pas où est mon erreur.
Comme système, j'ai :
1-b-2a=0
-1+2b+a=0
-b-2a=-1
2b+a=1
-b-2a=-1
4b+2a=2
-b-2a=-1
3b=2
Donc b= 2/3 ...
oui, j'ai l'impression que tu fais 90+45 comme si la figure était dans un plan ...
(AD) est perpendiculaire au plan (ABF) donc orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Oui, mille excuses pour le 1 !
Oui, j'ai fait comme si c'était dans le plan... J'ai du mal avec l'espace.
Je vais refaire mon calcul. Je vous tiens au courant, merci
Pour MN.BD, je trouve a+2b-1=0 d'où a=b=1/3
Par contre, pour MN.AF, je trouve 2a+b+1=0 donc avec mon 1/3 ça colle pas...
Pour la méthode 1, tu as terminé, non ? Ton système écrit au début de 16:26 conduit rapidemant à
a = b = 1/3.
Pour la méthode 2 ton début est correct, il suffit simplement de faire attention ; tu as très peu de choses à changer. Le mieux n'est pas de relire tes calculs mais de les refaire pas à pas à tête reposée (en faisant attention aux angles)
Oui, pour la méthode 1, j'ai trouvé. Merci.
Ben pour mes angles :
(-AM,AB)= pi/4
(-AM,AE)= pi/4
(BN,BA)= pi/4
Non?
on n'a pas besoin des angles orientés puisque cos(-a) = cos(a) ; les angles géométriques suffisent. Il faut simplement faire attention :
Par exemple (vecteurs en gras) : MA.AB = -(AM.AB) = - AM
AB cos(BAM)
Ce n'est qu'une histoire de calculs à mener méthodiqement.
Ok... mais c'est ce que j'ai fait. Non ?
MA.AB= -AM*AB*cos(BAM)= -a2*1*2/2
MA.AE= -AM*AE*cos(MAE)= -a2*1*2/2
BN.BA= BN*BA*cos(ABN)= b2*1*2/2
Je vois pas où j'ai faux... Vous pourriez me dire ?
J'avais oublié un - quelque part !!
Merci beaucoup pour toutes vos explications... J'en aurai mis du temps à trouver!