Niveau autre

problème de DL

Posté par jimmy (invité) 11-08-05 à 14:41

bonjour tous le monde, j'ai un problème de DL que j'arrive pas résoudre et j'aimerais bien qu'on me donne un coup de pousse merci.


Trouver le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de x=0 de

        [exp((x+1))-e]/[sin(x)-ln(1-x)].

MERCI encore de votre aide.

Posté par re : problème de DL 11-08-05 à 15:13

La fonction n'est pas définie en x = 0

Il faut donc d'abord montrer qu'elle peut être prolongée en 0.

$lim_{(x \to 0)} [\frac{e^{\sqrt{x+1}}-e}{sin(x)-ln(1-x)}]$
Est de la forme 0/0 --> application de la règle de Lhospital.

$lim_{(x \to 0)} [\frac{e^{\sqrt{x+1}}-e}{sin(x)-ln(1-x)}] = lim(x \to 0) [\frac{\frac{e^{\sqrt{x+1}}}{2\sqrt{x+1}}}{cos(x)+\frac{1}{1-x}}] = \frac{\frac{e}{2}}{2} = \frac{e}{4}$

La fonction peut être prolongée en 0 par f(0) = e/4
-----
Il faut maintenant chercher les dérivées successives de la fonction et chercher la lim pour x -> 0, de celles-ci
...

Mais je n'ai pas le courage de le faire.
-----
Au suivant.

Posté par re : problème de DL 11-08-05 à 15:36

Bonjour,
tu as essayé de développer au 3è ordre numérateur et dénominateur, et ensuite d'utiliser le DL de 1/(1+x)?
Normalement ça devrait pouvoir se faire sans encombre... certes avec un peu de calculs

Posté par re : problème de DL 12-08-05 à 04:41

Bonjour tout le monde;
jimmy tu as là un bon exemple d'opérations sur les DL (somme,quotient,composition..)
numérateur:
$e^{sqrt{1+x}}-e=e\times(e^{sqrt{1+x}-1}-1)$
on connait le développement en 0 de $(1+x)^{\alpha}(\alpha>0)$ :
$(1+x)^{\alpha}=1+\frac{\alpha}{1!}x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+..+\frac{\alpha(\alpha-1)..(\alpha-n+1)}{n!}x^n+..$ d'où
$sqrt{1+x}-1=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{3}{48}x^3-\frac{5}{128}x^4+o(x^4)$ et comme $sqrt{1+x}-1\to 0$ quand $x\to 0$ on a le droit d'écrire que:
$e^{sqrt{1+x}-1}=1+(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{3}{48}x^3-\frac{5}{128}x^4)+\frac{1}{2}(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{3}{48}x^3-\frac{5}{128}x^4)^2+\frac{1}{6}(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{3}{48}x^3-\frac{5}{128}x^4)^3+\frac{1}{24}(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{3}{48}x^3-\frac{5}{128}x^4)^4+o(x^4)$ ce qui te donne aprés simplification:
$2$\blue e^{sqrt{1+x}-1}-1=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{48}-\frac{10}{3}x^4+o(x^4)=\frac{x}{2}(1-\frac{x^2}{24}-\frac{20x^3}{3}+o(x^3))$
dénominateur:
$sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$
$-ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+o(x^4)$ d'où:
$2$\blue sin(x)-ln(1-x)=2x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{4}+o(x^4)=2x(1+\frac{x}{4}+\frac{x^2}{12}+\frac{x^3}{8}+o(x^3))$ donc :
$f(x)=\frac{e}{4}(1-\frac{x^2}{24}-\frac{20x^3}{3}+o(x^3))(1-\frac{x}{4}-\frac{x^2}{12}-\frac{x^3}{8}+o(x^3))$
ce qui donne finalement:
$4$\red f(x)=\frac{e}{4}(1-\frac{x}{4}-\frac{x^2}{8}-\frac{217}{32}x^3)+o(x^3)$
Sauf erreur bien entendu

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