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Niveau Licence Maths 1e ann
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probleme dirichlet

Posté par
Michaal
14-04-16 à 20:13

Bonjour,

Je cherche à résoudre un problème de Dirichlet sur le disque unité.
$ \Delta u(r,\theta) = 0 $ dans $D$
$ u(\theta) = g(\theta) = \exp(ik\theta)$ sur $\partial D$
la solution est de la forme
$ u(r,\theta) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} r^n (a_n\exp(in\theta) + b_n\exp(-in\theta)) $
avec $a_n$ coefficient de Fourier de $g$ et $b_n = a_{-n}$

Pouvez vous m'aider pour le calcul ?
$a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\exp(ik\theta) \exp(-in\theta) d\theta$
$a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\exp(i\theta(k-n)) d\theta$
$a_n = 1$ pour $k = n$
et pour $k \neq n$ en primitivant les cosinus et sinus je n'arrive pas à me debarasser des $k - n$

Merci d'avance.

Posté par
alainpaul
re : probleme dirichlet 15-04-16 à 08:17

Bonjour,

Pourrais-tu utiliser Latex,ton énoncé reste peu lisible.


Alain

Posté par
Razes
re : probleme dirichlet 15-04-16 à 13:02

alaipaul a raison, d'autant plus que vos formules sont en LaTeX, il suffit de les sélectionner et appuyer sur LTX en bas de la zone d'édition du message.

Posté par
Razes
re : probleme dirichlet 15-04-16 à 13:26

Voici le message LaTeX

Bonjour,

Je cherche à résoudre un problème de Dirichlet sur le disque unité.
\Delta u(r,\theta) = 0 dans D
u(\theta) = g(\theta) = \exp(ik\theta) sur \partial D
la solution est de la forme
u(r,\theta) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} r^n (a_n\exp(in\theta) + b_n\exp(-in\theta))
avec a_n coefficient de Fourier de g et b_n = a_{-n}

Pouvez vous m'aider pour le calcul ?
a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\exp(ik\theta) \exp(-in\theta) d\theta
a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\exp(i\theta(k-n)) d\theta
a_n =1 pour k = n
et pour k \neq n en primitivant les cosinus et sinus je n'arrive pas à me debarasser des k - n

Merci d'avance.

Posté par
lionel52
re : probleme dirichlet 15-04-16 à 13:28

Je cherche à résoudre un problème de Dirichlet sur le disque unité.
\Delta u(r,\theta) = 0  dans D
 u(\theta) = g(\theta) = \exp(ik\theta) sur \partial D
la solution est de la forme
u(r,\theta) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} r^n (a_n\exp(in\theta) + b_n\exp(-in\theta))

avec a_n coefficient de Fourier de g et b_n = a_{-n}

Pouvez vous m'aider pour le calcul ?
a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\exp(ik\theta) \exp(-in\theta) d\theta
a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\exp(i\theta(k-n)) d\theta
a_n = 1 pour k = n
et pour k \neq n en primitivant les cosinus et sinus je n'arrive pas à me debarasser des k - n

Merci d'avance.

Posté par
lionel52
re : probleme dirichlet 15-04-16 à 13:30

an = 0 pour k différent de n tout simplement

Posté par
Razes
re : probleme dirichlet 15-04-16 à 16:18

Avez vous résolu l'EDP?

Posté par
Razes
re : probleme dirichlet 15-04-16 à 16:29

Sincèrement, j'ai du mal à distinguer l'énoncé de ce que vous avez commencé à résoudre.

Avez vous

Est ce que vous avez trouvé b_n = a_{-n} par le calcul? Car dans ce cas la solution se réduit à : u(r,\theta) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} 2r^n a_n\cos(n\theta)

Posté par
Razes
re : probleme dirichlet 15-04-16 à 17:15

Le résultat est a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\exp(i\theta(k-n)) d\theta = \frac{1}{2\pi} \left [ \frac{\exp(i\theta(k-n))}{i(k-n)}\right ]_{0}^{2\pi}
=\frac{-i}{2(k-n)\pi} \left [ \exp(i\theta(k-n))\right ]_{0}^{2\pi}=\frac{-i}{2(k-n)\pi} \left [ \cos(\theta(k-n))+i\sin(\theta(k-n))\right ]_{0}^{2\pi}
=\frac{-i}{2(k-n)\pi} \left [ \cos(\theta(k-n))+i\sin(\theta(k-n))\right ]_{0}^{2\pi}=0

Sincèrement, je ne suis pas très convaincu de la solution que vous avez trouvé. Le mieux serait que vous sépariez l'énoncé des calculs que vous avez faite.



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