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Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1

Posté par
toine 30-10-07 à 14:04

Je vous demande de l'aide pour mon probléme merci d'avance.

intitulé du problème :

soit f est la fonction numérique rèelle definie par f(x)= x² + x / | x² + x | +1 .

mon problème est composé de 9 question

1°/ Montrer que f est definie pour tout x rèel ?

2°/ f est elle continue sur ?

3°/ Exprimer f(x) sans le symbole de valeur absolue sur els intervalles convenables.

4°/ Etudier la derivabilité de f en x = -1

5°/ Etudier la derivabilité de f en x = 1

6°/ Calculer f'(x) aprés avoir précisé sur quels intervalles elle est derivable.

7°/ Calculer la lim x- f(x)
             la lim x f(x)

8°/ Etblir le tableau de variation de f en ecrivant la valeur exacte des réel qui interviennent dans le tableau

9°/ soit C la courbe représentaive de f dans un repére ( o, ) orthonormal ( unité 2 cm pour chaque axe )

a) C admet elle des asymptotes?

b) c admet elle des tangente horizonales ou des demi tangente ? ( si oui , préciser en quel point )

c) Preciser les coordonnées des point d'intersection de C avec l'axe des abscisses et la droite D d'quation y=1

d) construite C , ses asympotes eventuelles et les tangentes ou demi-tangente situées au b)



J'ai deja reflechi sur les question 1 à 8 , mais je ne suis pas sur de moi.   

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 14:13

Bonjour

Et quel est le fruit de tes réflexions ?

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 14:14

Au fait, tu n'as pas mis de parenthèses ; est-ce volontaire ?

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 14:16

tout mes escuse la fonction est (x²+x) / ( |x²-1| +1 )

on va prendre question par question.

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 14:20

1°/ pour tout x , la valeur absolue de | x²-1 | est egale à

soit |x²-1| = -x²+1
soit |x²-16 = x²+1

d'ou f(x)= ( x²+x ) / (-x²+2 )
     f(x)= ( x²+x ) / x²  

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 14:25

Est-ce bien utile pour la question 1 ?

La fonction est définie ssi |x²-1|+1 est non nul ; cette condition est toujours vérifiée (une valeur absolue, "au pire" nulle, augmentée de 1 ne peut pas donner 0)

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 14:29

mais à propos quelle est la fonction (il y a une contradiction entre le titre et 14:16) ?

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 14:31

je me suis trompé dans le titre

la vrai fonction est f(x)= (x²+x) / ( |x²-1| +1 )

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 14:40

2°/ la fonction en valeur absolue est continue sur

f(x) = (x²+x) / ( |x²-1| +1 )

la fonction x x²+x est continue sur

la focntion x -x²+2 est continue sur

la focntion x x² est continue sur

donc la fonction f est continue sur

( je viens juste de le voir en cours alors je ne suis pas sur )

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 14:41

Un coup d'oeil graphique peut également être utile (ici avec "sinequanon", mais les calculettes font ça très bien aussi), sans que ce soit bien sûr une preuve.

Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 14:54

merci pour la représentation graphique.

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 15:02

3°/

f(x)= (x²+x) / (-x²+2)

f(x)= (x+1) / x

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 15:03

Tu dois préciser sur quels intervalles tu te places.

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 15:05

3°/

f(x)= (x²+x) / (-x²+2) sur

f(x)= (x+1) / x sur / {0}

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 15:08

Non

|x²-1| = x²-1 lorsque x²-1 0.

....

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 15:24

f1(x)= x² + x / | x² -1 | +1

3°/ f2(x)= x+1 / x sur car x0

f3(x)= x²+x / -x²+2

-x²+2 0
x² 2
x 2 ou x-2

Df3(x)= ] -; -2 [ U ] -2 ;2 [ U ] 2 ; + [

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 15:26

3°/

f2(x) est definie sur priver de 0

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 15:37

4°/ derivabilité en x=-1

lim x -1   x²+x / -x²+2 = -2/3

lim x -1   x²+x / x = 2

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 15:38

5°/ derivabilité en x=1

lim x -1   x²+x / -x²+2 = 2

lim x -1   x²+x / x = 2

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 15:48

Tu vas un peu vite en besogne. En particulier à la question 3 : ta réponse est fausse : relis mon post de 15:08

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 16:02

pourquoi x²-1 0. ??

et non -x²+2 0 !

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 16:12

Je n'ai pas écrit que x²-1 était positif, j'ai écrit : " |x²-1| = x²-1 lorsque x²-1 0 "

de même on a |x²-1| = -x²+1 lorsque x²-1 0

Donc deux cas à considérer :

d'une part x inférieur à -1 ou supérieur à 1
d'autre part x compris entre -1 et +1

...

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 16:47

oui c'est logique ! donc pour la question cette reponse conviens ?

1) j'ai la fonction f1(x)= x² + x / | x² - 1 | +1

definie dans un cas sur ] -; -1 [ U ] 1 ; + [
        dans l'autre cas sur ]-1 ; 1 [

2) la focntion f2(x)= x + 1 / x

definie sur privé de zero car x0

3) la focntion f3(x)= x²+x / -x²+2

definie sur ] -; -2 [ U ] -2 ;2 [ U ] 2 ; + [

car  -x²+2 0
     x² 2
     x - 2 ; x 2

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 16:58

non :

- 1er cas : x ]-;-1][1;+[

\tex f(x) = \frac{x^2+x}{(x^2-1)+1} = \frac{x^2+x}{x^2} = \frac{x+1}{x}

(aucun risque que x soit nul dans les intervalles considérés...)

- 2ème cas : x [-1;1]

\tex f(x) = \frac{x^2+x}{-(x^2-1)+1} = \frac{x^2+x}{-x^2+2}

(aucun risque que -x²+2 soit nul dans l'intervalle considéré ; d'autre part je ne vois pas pourquoi tu veux rendre à tout prix -x²+2 positif....)

et dans chaque question jette un oeil sur le graphique de 14:41 pour voir si le tout est cohérent.

...

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 17:11

je comprend , je ne prenais pas la fonction dans son ensemble mais en 2 sous fonction.

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 17:15

moi aussi

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 17:17

4°/ derivabilité en x=-1

lim x -1   x²+x / -x²+2 = -2/3

lim x -1   x²+1 / x = 0

5°/ derivabilité en x=1

lim x 1   x²+x / -x²+2 = 2

lim x 1   x²+1 / x = 2

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 17:25

Je ne comprends pas ce que tu fais ; on te demande d'étiudier la dérivabilité en -1 : quelle méthode utilises-tu et quelle est ta conclusion ?

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 17:34

j'utilise la formule

lim  x -1   f(x)-f(-1) / x+1

lim  x 1   f(x)-f(1) / x-1



la focntion f n'est pas derivable en x=-1 , mais elle est derivable a droite et a gauche de -1 et la courbe admet 2 demi-tangente de coefdirecteur -2/3 à gauche et 0 à droite

Mais cela ne me semble pas logique quand je regarde la courbe.

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 17:39

OK pour la méthode. Comment trouves-tu -2/3 et 0 ?

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 17:40

je vais refaire mes cacules j'ai du faire une erreur de signe.

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 17:56

lim  x -1   f(x)-f(-1) / x+1

1er cas : [(x²+x)/x - (1²+1)+1] / x+1 = [x²+x)/x - 2 ]/ x+1

2er cas : [(x²+x)/-x²+2 - (1²+1)/-1²+2] / x+1 = [x²+x)/x - 2 ]/ x+1

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 18:03

D'abord remarque bien que f(-1) = 0.

Ensuite dans les deux cas tu pourras simplifier par x+1.

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 18:20

4°/

1er cas

lim x -1 = (x²+x)/x * 1/x+1 = x²+x / x²+x = 1

2eme cas

lim x -1 = (x²+x)/-x²+2 * 1/x+1 = x²+x / -x²+2 * 1/x+1 = x²+x / -x^3-x²+2x+2

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 18:36

Je ne trouve pas ça :

- Lorsque x est strictement inférieur à -1 :

\Large \frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\frac{\frac{x+1}{x}}{x+1}=\frac{1}{x}

- Lorsque x est strictement supérieur à -1 :

\Large \frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\frac{\frac{x^2+x}{-x^2+2}}{x+1}=\frac{x}{-x^2+2}

sauf erreur et/ou faute(s) de frappe

Reste à trouver les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement.

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 30-10-07 à 18:47

d'accord.

on reprend demain.

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 12:01

4°/ derivabilité en x = -1

lim  = (x²+x) /x /x+1 = 1 / x = 1 / -1 = -1
x -1
x < -1

lim  = (x²+x) /-x²+2 / x+1 = x / -x²+2 = 1/ -1²+2 = 1
x -1
x > -1

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 13:32

Non : tu dois étudier le comportement de

\frac{f(x)-f(1)}{x-1}

lorsque x tend vers 1 (même méthode que pour la dérivabilité de f en -1)

commence donc d'abord par calculer f(1).

....

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 13:40

f(1)=2 et f(-1)=0

pour la derivabilité en x=-1 la question 4 la formule est lim x -1 = f(x) - f(-1) / x+1

il faut voir 2 cas

lim  = (x²+x) /x /x+1 = 1 / x = 1 / -1 = -1
x -1
x < -1

lim  = (x²+x) /-x²+2 / x+1 = x / -x²+2 = 1/ -1²+2 = 1
x -1
x > -1

et pour la derivabilité en x= 1 question 5 la formule est lim x 1 = f(x) - f(1) / x-1

il faut voir 2 cas

lim  = [ (x²+x) / x ] -2 / x-1 = ...
x 1
x < 1

lim  = [ (x²+x) / -x²+2 ] - 2 / x-1 = ...
x 1
x > 1

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 14:09

Désolé, je croyais que tu avais fini la 4) et que tu étais à 5).

Fais attention aux parenthèses, ce n'est pas un détail.

Pour la dérivabilité en -1, ta limite à droite est fausse.

Pour la dérivabilité en 1, dans chaque cas, essaie d'arranger le numérateur et de faire sauter l'indétermination en factorisant par x-1.

...

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 14:14

im  = (x²+x) /-x²+2 / x+1 = x / -x²+2 = 1/ -1²+2 = 1
x -1
x > -1

cette limite est fausse ?

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 14:19

le numérateur est x ; si x tend vers -1, alors le numérateur tend vers -1 et pas vers 1.

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 14:21

oui j'ai fait une erreur de signe !

question 5°/

lim  = [ (x²+x) / x ] -2 / x-1 = -(x-1)/x * 1/(x-1) = -1/x = -1
x 1
x < 1

mais je ne trouve pas la lim

lim  = [ (x²+x) / -x²+2 ] - 2 / x-1 = ...
x 1
x > 1

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 14:36

Pour l'erreur de signe, tu dois t'en rendre compte en observant le graphique d'hier
14:41 (même si je le répète ce n'est pas une preuve, c'est au moins un élément d'appréciation)

Pour la dérivabilité en 1, tu mélanges les deux : pour x proche de 1 par valeurs inférieures à 1 c'est f(x)=(x²+x)/(-x²+2).

Pou la limite manquante le numérateur d'écrit :

\Large \frac{x^2+x}{-x^2+2}-2=\frac{x^2+x-2(-x^2+2)}{-x^2+2}

tu l'arranges et tu essaies de factoriser par x-1 pour faire sauter l'indéternation liée au x-1 du dénominateur.
.

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 14:46

je trouve -1 au 4 lim des 2 question 4°/ et 5°/

lim  = -1
x -1
x < -1

lim  = -1
x -1
x > -1


lim  = -1
x 1
x < 1

lim  = -1
x 1
x > 1

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 14:49

Ces résultats semblent-ils compatibles avec le graphique ?

Peux-tu détailler tes calculs pour la dérivabilité en 1 ?

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 14:53

question 5°/

lim  = ((x+1)/x)-2/(x-1) = (-x+1)/x /x-1 = -(x-1)/x * 1/x-1 = -1/x = -1/1 = -1
x 1
x < 1

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 14:55

lim  = x²+x-x²+2 / x-1 = x+2/x-1 = -2(x-1) - x / (x-1) = -x+1-x = -2x+1 = -1
x 1  
x > 1

Posté par
littleguyre : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 15:04

Je ne suis pas sûr que tu lises attentivement mes réponses.

Posté par
toinere : Problème. fonction f(x)= x² + x / | x² + x | +1 31-10-07 à 15:08

mes lim en 1 ne sont pas en concordance avec le graphique !

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