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Problème - Fonctions, DLs et équa diff

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 17-02-07 à 18:54

Bonsoir, encore moi.

Voila un exo où j'ai de sérieuses difficultés, en premier lieu sur la compréhension de certains points. Merci d'avance de vos éclaircissements.

1. Quelle valeur faut-il donner au réel \Large\alpha pour que la fonction définie par :

\Large f(0) = \alpha et \Large\forall x\in\mathbb{R}^*, \Large f(x)=\frac{Arctan(x)}{x}

soit continue en 0 ?
On conserve cette valeur de alpha dans la suite.

=> Pas de problème, je trouve 1 à l'aide d'un DL au voisinage de 0.

2. Démontrer que f est une fonction de classe \Large C^1 sur \Large\mathbb{R}.

=> La dérivée est loin d'être continue puisque 0 n'est pas sur son domaine de définition, d'où ma question : que devient le prolongement de la question 1 lors du passage à la dérivée ?

3. Etudier les variations de f et tracer l'allure de son graphe.

=> Pas de problème.

4. Démontrer que, pour tout entier \Large n\in\mathbb{N}, la fonction d admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0, qu'on explicitera.

=> Expliciter le DL n'est pas un problème. En revanche comment démontrer son existence ? Je suppose qu'il faut avoir un raisonnement analogue à mon topic précédent, mais là on est à un ordre n...

5.a. Vérifier l'identité :

\Large\forall x>0, \Large Arctan(x)+Arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}

=> Pas de problème.

5.b. En déduire un développement asymptotique de f au voisinage de \Large +\infty de la forme

\Large f(x)=a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\frac{a_3}{x^3}+o(\frac{1}{x^3})

=> Là, je ne vois pas trop comment faire...

On cherche les fonctions deux fois dérivables sur \Large \mathbb{R}, qui vérifient l'équation différentielle

(E) : \Large x^2y''+4xy'+2y=\frac{2}{(1+x^2)^2}

6. Soient g, une fonction indéfiniment dérivable sur \Large\mathbb{R} , qui vérifie l'équation différentielle (E) et n, un entier naturel.

6.a. En remarquant que :

\Large \frac{d}{dx}(Arctan(x)+\frac{x}{1+x^2})=\frac{2}{(1+x^2)^2

calculer le DL à l'ordre n de \Large\frac{2}{(1+x^2)^2 au voisinage de 0.

=> Je n'ai pas encore essayé, mais je ne pense avoir de problème.

6.b. En déduire le développement limité à l'ordre n de g au voisinage de 0.
6.c. En déduire une solution particulière de (E).

=> Euh là, je dois avouer ne pas avoir tout suite d'idée... peut-être plus tard.

7. Déterminer deux fonctions de la forme \Large x\rightarrow x^\alpha qui vérifient l'équation différentielle homogène

(EH) : \Large x^2y''+4xy'+2y=0

sur les intervalles \Large\mathbb{R}^*_+ et \Large\mathbb{R}^*_-.

=> Là, je ne comprends, je croyais que l'on avait garder alpha = 1 ?

8. En admettant que toute solution de (EH) sur \Large\mathbb{R}^*_+ ou \Large\mathbb{R}^*_- est une combinaison linéaire des deux solutions particulières trouvées à la question précédente, démontrer que la fonction f est l'unique fonction deux fois dérivable sur \Large\mathbb{R} qui vérifie (E).


Voila... Un bien bel exo, qui dès les premières questions me pose des problèmes... Merci à vous pour votre aide.

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 18:57

re puisea

En voila un exo qu'il est joli !

Pour la 2), je t'assure que cette fonction est continue (et même indéfiniment dérivable).
Avant tout, il s'intéresser à la limite de la dérivée en 0 pour pouvoir dire quelque chose.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 18:58

Salut

4$f est 4$C^1 sur 4$\mathbb{R} privé de 0

Le DL de f te donne la valeur de 4$f^'(0)

Ensuite, tu calcules la dérivée de 4$f, puis tu détermines un DL de 4$f^{'}

Posté par
fusionfroidere : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:00

Comment ça se passe puisea la prépa ?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:07

Alors, on est bien d'accord que une fonction de classe \Large C^1 est une fonction une fois dérivable et donc la dérivée est continue. Dans mon cas, on veut montrer que f est de classe \Large C^1 sur \Large\mathbb{R}. Ceci étant dit il y a un soucis en 0 pour la dérivée ; soucis qui n'existe plus pour f puisqu'on l'a prolongée par continuité.

La dérivée de f est :

\Large f'(x)=\frac{1}{x(x^2+1)}-\frac{Arctan(x)}{x^2}

Avec un Dl de la dérivée en 0, on en arrive à dire que l'on peut prolonger f' en 0 par f'(0) = 0. Mais ce n'est que en tenant compte de ce prolongement que l'on a du coup f qui est une fonction de classe \Large C^1, non ?

Posté par
fusionfroidere : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:08

Je trouve 4$f^'(x)=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{5}x^3+o(x^3) au voisinage de 0

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:11

Salut fusionfroide !

Et bien, j'ai eu un coup de moins bien il y a deux semaines en anglais et en physique. Je vais devoir rattrapper ca avec dans un premier temps un DS de physique mardi. Sinon ca se passe plutot bien, il y a une bonne ambiance, j'ai de bons profs. A part ca, je suis à la limite de ma classe pour passer en * donc je m'accroche en faisant un peu plus que demandé

Enfin je dois avouer que les vacances qui arrivent dans une semaine ne seront pas de refus

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:20

Je trouve le même développement limité pour f'.

Posté par
fusionfroidere : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:21

Bon courage dans ce cas pour la suite de la prépa : en tout cas, le principal c'est que tu as l'air motivé


Citation :
Je trouve le même développement limité pour f'.


Ouf

Posté par
fusionfroidere : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:22

Ok donc tu as 4$\lim_{x \to 0}f^'(x)=0=f^'(0)

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:24

puisea> oui bien sûr, c'est bien en tenant compte du prolongement !

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:25

Oui je suis d'accord, mais cela permet-il de dire que f une fonction de classe \Large C^1 ? Car là, on aurait pas un peu tricher en prolongeant la dérivée en 0 ?

Sauf si je me trompe, sans ce prolongement f' n'est pas continue sur \Large\mathbb{R}

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:25

Citation :
puisea> oui bien sûr, c'est bien en tenant compte du prolongement !



Ah, je comprends mieux alors

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:30

Pour démontrer l'existence du DL de f à l'ordre n, il faut montrer (si j'ai bien compris le topic précédent) que f est de classe \Large C^n, mais je suppose qu'on ne va tout de même pas s'amuser à exprimer la dérivée n-ième de f pour la prolonger en 0 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:36

attention tout de même : admettre un DL d'ordre n n'est pas équivalent à être de classe \Large{C^{n}} (et pas non plus à n fois dérivable) : je vais essayer de trouver un contre exemple !

ici, en fait c'est assez simple : il suffit de faire le DL de ta fonction. Tu as vu le DL d'Arctangente je suppose ?

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:40

Oui je l'ai vu et puis sinon il est facile à retrouver en passant par la dérivée

Donc expliciter le DL de f à l'ordre n ne me pose pas de soucis :

\Large f(x)=(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n+1}+o(x^{2n+1})

Sauf erreur bien sûr

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:44

Tu n'aurais pas oublié une somme, des fois ?

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 19:47

Oui effectivement...

c'est l'habitude d'avoir appris les formules avec des 1+...+o(x^n)

Enfin ceci étant dit, l'explicitation du DL de f suffit-elle à démontrer son existence ?

C'est un peu idiot car si on l'a, c'est qu'il existe, mais telle que la question est formulée, je me pose la question...

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 17-02-07 à 20:33

Personnellement, j'aurais prouver l'existence du DL en l'explicitant.

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 11:18

Bonjour,

Pour la 5.b. je ne vois pas trop comment faire à partir de la 5.a.

Pour la 6.a. je trouve :

\Large\frac{2}{(1+x^2)^2}=\sum_{k=0}^n(-1)^k(2k+2)x^{2k}+o(x^{2n})

D'après quelques vérifications, cela m'a l'air bon.

Pour la 6.b. :

On veut g tel que :

\Large%20x^2g''+4xg'+2g=\frac{2}{(1+x^2)^2}

En posant le DL au voisinage de 0 de g :

\Large g=a_0+a_1x+...+a_{2n}x^{2n}

Et en passant cette expression dans l'équa diff :

\Large x^2g''+4xg'+2g = 2a_0+6a_1x+11a_2x^2+...+a_{2n}x^{2n}(8n+2+(2n)(2n-1))

Il faut identifier ca avec le résultat trouvé en 6.a.

\Large\{{a_{2k+1}=0\\a_{2k}=\frac{(-1)^k(2k+2)}{(2k)(2k-1)+8k+2}}

Sauf erreur. Mais cela me semble bizarre car pour en déduire une solution particulière de (E)...

Voila.
Merci.

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 11:29

Bonjour puisea

Pour la 5)b), il suffit de remplacer \Large{\arctan(x)} par \Large{\frac{\pi}{2}-\arctan(\frac{1}{x})} et vu que l'on veut faire un développement asymptotique en l'infini cette nouvelle formulation de arctan(x) nous permet de nous ramener en 0 (car \Large{\frac{1}{x}} tend vers 0).
Tu vois ce que je veux dire ?

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 11:39

Oui je pense :

En fait, faire le DL asymptotique de Arctan en l'infini revient à le faire sur pi/2-Arctan(1/x) qui devient un DL en 0. Donc :

\Large{f(x)=\frac{\Pi}{2x}-\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{1}{x^{2k+2}(2n+1)}}

En identifiant :

\Large\{{a_0=0\\a_1=\frac{\pi}{2}\\a_2=-1\\a_3=0}

Sauf erreur.

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 11:45

C'est bien ça !

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 11:49

Merci pour la confirmation.
Que penses-tu de mon raisonnement sur la 6.b. car cela ne me permet pas d'aboutir à la 6.c.

Merci.

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 11:52

Pour la 6)a) je suppose que tu as dérivé le DL ?
Attention de même : ici on a le droit de faire ça car ta fonction est de classe \Large{C^{n}} pour tout n.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 11:59

Pour 6)b) c'est aussi correct !

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 11:59

Oui c'est bien ce que j'ai fait.
Oui je comprends pour la nécessité d'avoir une fonction de classe \Large C^\infty

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:00

Ah et bien si c'est correct... Je suppose que je devrais reconnaitre une fonction qui possède ce DL et qui du coup serait solution particulière de (E), mais le DL étant plutot compliqué, je vois pas trop...

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:08

C'est bizarre que l'on te donne ce genre de question à faire : c'est plutôt une question de spé. En effet, cette question se traite avec les séries entières que vous ne faites pas encore en sup.
En fait, la fonction qui va marcher c'est celle qui va s'écrire \Large{\bigsum_{k=0}^{+\infty}a_{k}x^{k}} mais ça m'étonnerait que ça te dise quelque chose.
Mais bon peut-être faut-il, comme tu dis, reconnaitre une fonction qui a le même DL (en fait c'est mieux qu'un DL mais je n'en dirais pas plus ).

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:12

Effectivement je n'ai pas encore vu les séries entières. En revanche c'est aussi une écriture possible des fonctions polynomiales, non ?

Etant donné le DL obtenu, c'est une fonction paire, mais je ne vois pas quoi en dire de plus

Pour ce qui est de reconnaitre un DL connu, je sèche.

Sinon, pourrais-tu m'éclairer sur ce que l'on demande à la 7. ?

Merci.

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:13

Attend une seconde : essaie de simplifier l'expression de \Large{a_{k}} au maximum.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:15

Pour la question 7), il y a un problème de notation : ce n'est pas le \Large{\alpha} du début.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:32

Bonjour à tous les deux

Ca peut peut-être vous aider. Sauf erreurs, avec ma calto, en simplifiant au maximum, j'obtiens :

\Large\{{a_{2k+1}=0\\a_{2k}=\frac{(-1)^k(2k+2)}{(2k)(2k-1)+8k+2} = \frac{(-1)^k}{2k+1}}

Romain

Posté par
lyonnaisre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:35

>> il suffit pour cela de développer le dénominateur et d'en chercher les racines ... :D

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:38

Dans ce cas je trouve, après avoir résolu l'équation :

\Large\alpha^2+3\alpha +2=0

deux fonctions :

\Large\{{x\rightarrow \frac{1}{x}\\x\rightarrow \frac{1}{x^2}}

Pour ce qui est de \Large a_k :

\Large a_k = \frac{(-1)^n(k+2)}{k(k-1)+4k+2}

\Large a_k = \frac{(-1)^n(k+2)}{k^2+3k+2} (oh on retrouve quelque chose au dénominateur )

\Large a_k = \frac{(-1)^n(k+2)}{(k+2)(k+1)}

\Large a_k = \frac{(-1)^n}{k+1}

Cela correspond à f, non ?


Pour la 8., cela ne m'est pas évident pour le moment.

Merci.

Posté par
lyonnaisre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:38

Et puis c'est bizarre, ça me dis quelque chose

cf ici pour les developpement en série entière :


Romain

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:39

Salut Romain !

C'est bien ce que je trouve
Merci pour la confirmation.

Bientot les concours ? Pas trop de boulot ?

Posté par
lyonnaisre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:40

Si je révise à fond :D

Mais je fais quelque petites pauses : c'est bizarre, même quand je fais de la physique, je ne peux pas m'enpécher de venir ici pour voir des maths ;)

Bon courage pierre !

Moi je retourne réviser ...

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:43

Citation :
c'est bizarre, même quand je fais de la physique, je ne peux pas m'enpécher de venir ici pour voir des maths




Merci, à toi aussi

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 12:56

Salut Romain
puisea> pour la question 8, considère une fonction h qui vérifie la même chose que f. Que peux-tu dire de f-h ?

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 13:04

Et bien si f et h sont solutions de (E), alors f-h est solution de (EH), non ?

Et dans ce cas f-h doit être combinaison linéaire des solutions de la 7 ? Ce qui n'est pas possible, donc f est l'unique solution, c'est ca ?

Je vais manger, je reviens après
Merci.

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 13:06

Pourquoi ce n'est pas possible ?
OK ! bon appétit !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 13:11

Moi ce midi c'est cuisses de poulet + riz

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 13:30

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 14:22

Re

C'était couscous pour ma part

Et bien si f-h est combinaison linéaire, cela veut dire que :

\Large\frac{Arctan(x)}{x}-h=\alpha\frac{1}{x}+\beta\frac{1}{x^2}

Donc effectivement c'est possible si h est elle-même combinaison linéaire de f et des deux solutions particulières de (EH).

Mais du coup, quel renseignement cela nous apporte sur l'unicité de la solution f ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 14:24

:D

Que sait-on de f et de h (à part qu'elles sont solutions de l'équation) ?

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 14:31

Et bien, euh...

Si f et h sont solutions de (E) elles sont combinaisons linéaires d'une solution particulière de (E) et des solutions de (EH).

On sait, de part l'énoncé, que toute solution de (EH) est combinaison linéaire des solutions trouvées.

Donc cela nous permet de dire que alpha et beta sont nuls, avec alpha et beta les variables introduites dans mon post de 14h22. Est-ce correct ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 14:35

Citation :
Si f et h sont solutions de (E) elles sont combinaisons linéaires d'une solution particulière de (E) et des solutions de (EH).


euh pas exactement :
ça serait plutôt la somme d'une solution particulière et d'une combinaison linéaire des solutions de (EH). Enfin, je suppose que c'est ce que tu voulais dire !

Citation :
Donc cela nous permet de dire que alpha et beta sont nuls, avec alpha et beta les variables introduites dans mon post de 14h22. Est-ce correct ?


Justement : pourquoi sont-elles nulles ?

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 14:40

Effectivement c'est ce à quoi je pensais.

Elles sont nulles car f est solution. Mais je suis pas convaincu, car si elles sont nulles pour f, elles nr le sont par forcément pour une autre solution.

Si on reprend f-h qui doit être solution de (EH). Cela implique que h est justement la somme d'une solution particulière (la fonction f) et d'une combinaison linéaire des solutions de (EH).

Bref, je vois pas trop... et j'ai la vague impression que ca doit être tout bête.

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème - Fonctions, DLs et équa diff 18-02-07 à 14:43

Je repose ma question : d'après l'énonce, que sait-on de f et h (à part le fait qu'elles sont solutions de l'équation (E)) ?

Kaiser

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