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Problème géométrie dans un triangle.

Posté par
Zacross
22-01-11 à 17:14

Bonjour,

Comme la semaine passée, j'ai un petit devoir de P.E.S. dont je n'arrive pas à bout... en voici l'énoncé :

On considère un triangle ABC non isocèle. On construit sur le côté [BC] et dans le plan du triangle ABC deux triangles équilatéraux BDC et BD'C.
Démontrez que |AD|²+|AD'|² = |AB|²+|AC|²+|BC|²
Ce sont des longueurs de vecteurs.

Alors, pour cet exercice la première et seule idée qui me paraissait correcte pour résoudre ceci, c'est l'utilisation de la formule des triangles quelconques, Pythagore généralisé.
Je pars du membre de gauche en considérant les triangles ABD et ACD' et j'exprime les côtés AD et AD' en fonction de la formule de Pythagore généralisé. Je fais donc apparaître |AB|² et |AC|² sans trop de problème par la relation suivante :
|AD|²+|AD'|² = |AB|²+|AC|²+|CD|²+|DB|²+2|AD|cos+2|AD'|cos

A partir de là, je sais pas trop quoi faire pour faire apparaître BC (on peut pas utiliser Chasles avec des longueurs de vecteurs) et disparaître les cosinus&co.

Merci et désolé de sollicité autant votre aide, mais j'ai vraiment pas assez de temps à consacrer aux travaux de renfo math ces jours ci (TFE de français à rendre dans peu de temps, sans compter les interros classiques à étudier...)

Posté par
Priam
re : Problème géométrie dans un triangle. 22-01-11 à 18:23

Tu pourrais essayer de répondre en modifiant l'égalité à démontrer pour y faire apparaître des différences de carrés , puis en décomposant celles-ci suivant l'identité  a² - b²  et en traitant vectoriellement les différents termes obtenus.

Posté par
Zacross
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 00:25

Et ce à partir de la seconde équation que j'ai donné, ou carrément de la première?

Posté par
Priam
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 09:32

A partir de la relation à démontrer.

Posté par
Zacross
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 14:00

Très sincèrement j'ai essayé et je vois pas du tout où ça va mener, d'autant plus qu'on peut pas traiter "vectoriellement" les termes obtenus puisque ce sont des longueurs de vecteur et non des vecteurs à proprement parlé...
Dès que je développe par a²-b² je tombe sur une expression dont je vois même pas ce que je peux faire avec =/ pas de mise en évidence, pas de distributivité (sous peine de retrouver l'expression a²-b²...), rien.
Après, je suis vraiment une queue en géométrie, donc bon :s

Posté par
Zacross
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 14:08

Je suis arrivé à une autre égalité, d'ailleurs :
-1/2 |BC|² = |AD|cos+|AD'|cos

Posté par
Priam
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 14:34

Si on écrit  MP², cela peut signifier aussi bien le produit de la longueur MP par elle-même que le produit scalaire du vecteur MP par lui-même. Le résultat est le même.
Donc, on peut écrire  AD² - AB² = (AD + AB).(AD - AB) = (AD + AB).BD , le " . " indiquant un produit scalaire.

Posté par
Zacross
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 14:57

Sauf que là je suis pas d'accord avec toi.
(|AD|-|AB|) ce n'est pas égal à |BD|
C'est vrai pour un vecteur, mais pas pour une longueur de vecteur! Tu appliques la règle de Chasles à des longueurs de vecteur (à moins que je ne comprenne pas ton raisonnement) et ça, ça me semble impossible :s
J'ai loupé quelque chose dans mes cours de 4ème ou j'ai raison?x)

Posté par
Priam
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 15:18

Etant donné que  |MP|² = |MP|*|MP|  et que  MP² = MP.MP = |MP|*|MP|cos0 = |MP|*|MP|, on obtient le même résultat que l'on prenne MP pour une longueur ou pour un vecteur.
Dans le calcul qui nous intéresse, on peut donc considérer MP comme un vecteur.

Posté par
Zacross
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 15:30

J'avais déjà utilisé cette logique, mais je sais pas pourquoi y à quelque chose qui me dérange dedans :s surtout quand je regarde le dessin en fait, il paraît évident que c'est pas la même chose =/
Puis quand bien même admettons qu'on aie BD, ça mène à quoi après? On distribue et on obtient AD.BD+AB.BD
On retombe sur des produits scalaires, mais là on va avoir des cosinus qui vont apparaître, et on revient plus ou moins à la situation que j'avais trouvé avec les triangles quelconques.
Enfin bref, je crois pas que je viendrai à bout de ce truc là, le temps qu'il me reste , je devrais plutôt le consacrer à étudier l'interro sur la primitivation x)
Merci quand même Priam, je chercherai encore un peu si j'ai le temps en utilisant ta logique

Posté par
Priam
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 19:03

Je t'assure que ça marche, et sans cosinus !

Posté par
Zacross
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 19:20

Ok j'essaye un peu de voir comment là... mais manifestement j'y suis pas trop x)

Posté par
Zacross
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 21:53

Bon bah désolé, mais je vais noté ce que j'ai trouvé moi-même, parce qu'avec ta méthode je ne trouve absolument rien ^^'
Merci quand même

Posté par
Zacross
re : Problème géométrie dans un triangle. 23-01-11 à 22:40

Dieu de Dieu! Sauf erreur j'y suis finalement arrivé!
Merci beaucoup!
Qui sait, à force de me torturer l'esprit avec la géométrie, peut-être que je deviendrai moins nul!



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