Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour comprendre un problème dont voici l'énoncé :

On rappelle qu'une partition d'un ensemble fini non E est un ensemble {A1,A2,...,Ak} de parties de E non vides, deux-à-deux disjointes telles que Ai=E (pour i allant de 1 à k). Les parties A1, A2,..., Ak sont alors les classes de la partition.
Le nombre k de classes d'une partition d'un ensemble E de cardinal n est compris entre 1 et n. Quand k égal 1, la partition s'appelle la partition épaisse. Quand k égal n les classes sont les singlotons de E ; on obtient la partition fine.

1) Nombre de partitions dont les classes sont des paires
Dans cette partie E est un ensemble non vide de cardinal 2p avec p entier naturel non nul. On note ap le nombre de partitions de E en p classes qui sont des paires.

a) Déterminer a1, a2, a3
b) Dans cette question, on suppose que p supérieur ou égal à 2. On note E={x1;x2;...;x2p}. En distinguant les ap partitions cherchées de E selon la classe contenant x2p, montrer que a_p=(2p-1)a_p-1
c) On pose a0=1. Déterminer ap en fonction de p pour p entier naturel.

2) Nombre de partitions dont les classes ont au plus deux éléments
Soit E un ensemble non vide de cardinal n. On note bn le nombre de partitions de E en classes qui ont au plus deux éléments.

a) Déterminer b1, b2, b3, b4
b) Dans cette question on suppose que n est pair. On pose n égal 2p avec p entier naturel non nul. En distinguant les bn partitions cherchées en fonction du nombre de leurs singletons, montrer que b_2p=(2k parmi 2p)a_p-k pour k allant de 0 à p. (1)
c) Dans cette question on suppose que n est impair. On pose n = 2p+1 avec p entier naturel. Trouver une formule analogue à la formule (1)
d) On pose E={x1,x2,...,xn} avec n supérieur ou égal à 3. En distinguant les bn partitions cherchées selon la classe contenant xn, montrer que b_n = b_n-1 + (n-1)b_n-2
e) Calculer bn pour n appartenant aux entiers naturels compris entre 1 et 10 (inclus)

3) Nombre d'involutions d'un ensemble fini
Soit E un ensemble. On rappelle qu'une involution de E est une application f de E dans E vérifiant fof=Id_E

a) Soit f une involution de E
- Montrer que f est bijective et déterminer f^-1
- Soit (a,b) E² tels que f(a)=b. Que peut on dire de f(b) ?
b) Exhiber les involutions de E={1,2,3}. Y a t il des bijections de E dans E, non involutives ?
c) Soit E un ensemble de cardinal n. Exprimer en fonction de bn, le nombre d'involutions de E. On justifiera sa réponse.

4) Nombre de partitions d'un ensemble fini
Soit E un ensemble fini de cardinal n. On note n le nombre de partitions de E. On convient que 0 = 1 (n est le n-ième nombre de Bell)

a) Calculer 1, 2, 3
b) On se propose d'établir la relation d'Aitken (1933) :
Pour tout n entier naturel non nul, n = (i parmi n-1)i pour i allant de 0 à n-1.
On considère un ensemble E non vide de cardinal n, E = {x1,x2,...,xn}
- Pour k appartenant aux entier naturels compris entre 1 et n inclus, quel est le nombre de parties à k éléments de E contenant l'élément xn ?
- Toute partition non épaisse de E peut être vue comme la donnée d'une paire {A,P_{A barre}} où A est une partie stricte de E contenant xn et P_{A barre} une partition du complémentaire de A dans E. En déduire que n - 1 = _{A barre} où la somme porte sur les parties de A strictes de E contenant xn et _{A barre} désigne le nombre de partitions de A barre.
- Montrer que pour tout n entier naturel non nul, _n-1 = (k-1 parmi n-1)_n-k pour k allant de 1 à n-1
- Déduire de ce qui précède, à l'aide d'un changement d'indice simple, la relation d'Aitken
c) Calculer 4, 5, 6.


Pour commencer j'aimerai qu'on m'éclaire sur la toute première question car je ne suis pas sûr d'avoir compris, a1 représente le nombre de partitions de E en 1 classe qui est une paire mais justement je ne comprends pas comment il peut y avoir une seule classe si on veut des paires ? Dans ce cas il faut diviser la classe en deux ?

Merci d'avance