bonjour, voici un problème que j'ai du mal à résoudre :
Soit n E N*, on considère T:Kn[x] Kn[X] qui à tout polynome P E Kn[X] associe le poly P(X+1)-P(X)
1) montrer que T est un endomorphisme de Kn[X]
j'ai montré qu'elle est linéaire > ça marche !
2) on pose P0=1 et pour tout k E {1,....,n} Pk = [X(X-1)...(X-k+1)] / k!
a. montrer que {P0, .. Pn} est une base de Kn[X]
> j'ai du mal a montré que cette famille est libre
b. calculer T(Pk) pour tout k E {1,....,n}
c. en déduire Ker(T) et Im(T) (on pourra utiliser la décomposition dans la base {P0, .. Pn}
3) a. calculer pour tout (i;j)E {1,....,n}², Ti(Pj)(0) (Ti= To...oT)
b. en déduire P(X) = k=0n Tk(P)(0).Pk(X)
c. dans le cas où n=5, calculer les coordonnées de X4 dans la base {P0, .. ,P5}
merci de m'aider .. je suis bloqué à la question 2 pour l'instant
Bonjour
2a: Les polynômes sont de degrés tous différents, donc forment une famille libre.Comme il y en a n+1, c'est une base.
oui, j'avais fait quelquechose dans ce genre la ^^
pour T(Pk)
j'ai : [ ((X(X+1)..(X-k+2))(X(X-1)...(X-k+1)) ] / k! si je ne me suis pas trompé
mais a partir de la, je bloque
merci ^^
oui c'est bien ça merci,soit Pk-1 ^^ pouvez vous m'expliquer pour la question suivante "utiliser la décomposition dans la base ..."
merci beaucoup
je n'arrive pas a trouver l'image et le noyau ..
j'ai aussi réussi la question 3a. mais je seche pour la 3b.
mercii ^^
bonsoir, je seche sur quelques questions d'un problème, si vous pouviez m'aider ..?
Soit n E N*, on considère T:Kn[x] Kn[X] qui à tout polynome P E Kn[X] associe le poly P(X+1)-P(X)
2) on pose P0=1 et pour tout k E {1,....,n} Pk = [X(X-1)...(X-k+1)] / k!
a. montrer que {P0, .. Pn} est une base de Kn[X]
b. calculer T(Pk) pour tout k E {1,....,n}
c. en déduire Ker(T) et Im(T) (on pourra utiliser la décomposition dans la base {P0, .. Pn}
>> je n'y arrive pas
3) a. calculer pour tout (i;j)E {1,....,n}², Ti(Pj)(0) (Ti= To...oT) >> je n'y arrive pas
b. en déduire P(X) = k=0n Tk(P)(0).Pk(X)
c. dans le cas où n=5, calculer les coordonnées de X4 dans la base {P0, .. ,P5}
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